Давайте подробно решим выражение:
[
\arcsin(0.5) + \arccos(-1) - \arccos(0) - \arctg(1)
]
Шаг 1. Вычислим каждую функцию по отдельности.
1. (\arcsin(0.5)).
Значение (\sin \theta = 0.5).
Из основного тригонометрического круга: (\sin 30^\circ = 0.5 ).
Так как арксинус определён на промежутке ([-90^\circ, 90^\circ]), то:
[
\arcsin(0.5) = 30^\circ
]
2. (\arccos(-1)).
Значение (\cos \theta = -1).
Из основных значений: (\cos 180^\circ = -1).
Итак,
[
\arccos(-1) = 180^\circ
]
3. (\arccos(0)).
Значение (\cos \theta = 0).
Из основных значений: (\cos 90^\circ = 0).
Поскольку (\arccos) — определён на ([0^\circ, 180^\circ]):
[
\arccos(0) = 90^\circ
]
4. (\arctg(1)).
Значение (\tan \theta = 1).
Значение (\tan 45^\circ = 1).
Функция арктангенс: область — ([-90^\circ, 90^\circ]).
Следовательно:
[
\arctg(1) = 45^\circ
]
Шаг 2. Подставим полученные значения:
[
30^\circ + 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ
]
Выполняем сложение и вычитание:
[
(30^\circ + 180^\circ) - (90^\circ + 45^\circ) = 210^\circ - 135^\circ = 75^\circ
]
Ответ:
[
\boxed{75^\circ}
]
Это итоговое значение выражения.
