Реши

Давайте разберем эту задачу подробно. Задача: \[ (a + \frac{1}{a} + 2) \cdot \frac{1}{a+7} = ? \] **Шаг 1: Упростим выражение в числителе:** Обратите внимание, что в скобках у нас есть выражение: \[ a + \frac{1}{a} + 2 \] **Шаг 2: Попробуем сгруппировать выражение:** Можно рассмотреть сумму: \[ a + 2 + \frac{1}{a} \] и провести некоторые преобразования. **Шаг 3: Вспоминаем важное тождество:** Обратите внимание, что: \[ (a + 1/a)^2 = a^2 + 2 + 1/a^2 \] Из этого следует, что: \[ a + \frac{1}{a} = \sqrt{a^2 + 2 + 1/a^2} \quad \text{(но это не обязательно для данного случая)} \] Но для простоты, оставим исходное выражение, чтобы понять, можно ли его представить в виде какой-либо квадратной формы или упростить. **Шаг 4: Объеденение выражения:** Вернемся к исходному выражению: \[ (a + \frac{1}{a} + 2) \] Если взять за основу, что это сумма: \[ a + 1/a + 2 \] можно переписать как: \[ a + 2 + \frac{1}{a} \] **Шаг 5: Возможное упрощение:** Обратим внимание, что существует классическая альтернатива — чтобы умножить или сократить, попробуем придумать, что делать: Поскольку делим на \(a + 7\), можем попытаться выразить все через \(a + 1/a\), или необходимый числитель — понять, как связать с этим выражением. **Шаг 6: Важное замечание:** Если задача была полностью записана как: \[ \left( a + \frac{1}{a} + 2 \right) \cdot \frac{1}{a+7} \] то при условии, что выражение равно, например, основано на \(a = -5\) (как указано в примечании справа), можно подставить \(a = -5\): \[ a = -5 \] подставим в числитель: \[ -5 + \frac{1}{-5} + 2 = -5 - \frac{1}{5} + 2 \] вычислим поэтапно: \[ -5 + 2 = -3 \] и \[ -\frac{1}{5} \] поэтому сумма: \[ -3 - \frac{1}{5} = -\frac{15}{5} - \frac{1}{5} = -\frac{16}{5} \] Теперь делим на \(a + 7 = -5 + 7 = 2\): \[ \frac{-\frac{16}{5}}{2} = -\frac{16}{5} \times \frac{1}{2} = -\frac{16}{10} = -\frac{8}{5} \] **Итог:** Ответ — \(-\frac{8}{5}\). --- **Общий вывод:** Если задача требует подставить конкретное значение \(a = -5\), то результат — \(-\frac{8}{5}\). Если нужно оставить в виде выражения, то это: \[ \frac{a + \frac{1}{a} + 2}{a + 7} \] подставьте \(a = -5\) для получения окончательного результата.