Дано ряд: ( 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2^2} + \ldots + \frac{x^n}{2^n} ).
Здесь речь идет о сумме геометрической прогрессии с первым членом ( a = 1 ) и знаменателем ( r = \frac{x}{2} ).
Формула суммы конечной геометрической прогрессии с ( n+1 ) членами:
[
S_{n+1} = \frac{a(1 - r^{n+1})}{1 - r}
]
Подставляем:
[
a = 1, \quad r = \frac{x}{2}
]
[
S_{n+1} = \frac{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^{n+1}}{1 - \frac{x}{2}}
]
Нам нужно определить границу при ( n \to \infty ).
Если ( |r| < 1 ), то ( r^{n+1} \to 0 ) при ( n \to \infty ). Это условие выполняется, когда ( |x/2| < 1 ), или ( |x| < 2 ).
Тогда сумма бесконечной серии:
[
S = \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = \frac{1}{\frac{2 - x}{2}} = \frac{2}{2 - x}
]
Поскольку в вариантах есть ответы ( \frac{1}{2} ), ( \frac{1}{2} ), ( 2 ), и ( 1 ), самый подходящий ответ — это когда сумма в пределе равна ( 2 ).
Ответ:
в. 2
