дать ответ

Дано ряд: \( 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2^2} + \ldots + \frac{x^n}{2^n} \).

Здесь речь идет о сумме геометрической прогрессии с первым членом \( a = 1 \) и знаменателем \( r = \frac{x}{2} \).

Формула суммы конечной геометрической прогрессии с \( n+1 \) членами: \[ S_{n+1} = \frac{a(1 - r^{n+1})}{1 - r} \]

Подставляем: \[ a = 1, \quad r = \frac{x}{2} \] \[ S_{n+1} = \frac{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^{n+1}}{1 - \frac{x}{2}} \]

Нам нужно определить границу при \( n \to \infty \).

Если \( |r| < 1 \), то \( r^{n+1} \to 0 \) при \( n \to \infty \). Это условие выполняется, когда \( |x/2| < 1 \), или \( |x| < 2 \).

Тогда сумма бесконечной серии: \[ S = \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = \frac{1}{\frac{2 - x}{2}} = \frac{2}{2 - x} \]

Поскольку в вариантах есть ответы \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2} \), \( 2 \), и \( 1 \), самый подходящий ответ — это когда сумма в пределе равна \( 2 \).

Ответ:
в. 2