дать ответ

Рассмотрим задачу: найти вид градиента скалярного поля \( u = x^2 + y^2 \) в точке М(0). Нам нужно выбрать правильный ответ из предложенных.

Шаг 1. Найдем градиент поля \( u \).

Градієнт – вектор частных похідних по переменным \( x \) и \( y \):

\[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) \]

Шаг 2. Вычислим частные производные:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = 2y \]

Шаг 3. Представим градиент в виде вектора:

\[ \nabla u = (2x, 2y) \]

Шаг 4. Оценим градиент в точке М(0). Так как \( x = 0 \), \( y = 0 \):

\[ \nabla u (0,0) = (0, 0) \]

Это — нулевой вектор.

Шаг 5. Посмотрим на варианты ответов. Вариант д): \(- i - 4j \). Он не равен нулю, следовательно, его не подходит.

Что касается других вариантов:

• \( a) \: i + j \) — это вектор (1,1), не нулевой.
• \( b) \: 2i + 2j \) — это (2,2), не нулевой.
• \( c) \: 4j + i \) — это (1,4), не нулевой.

Следовательно, правильный ответ — это нуль-градиент, но такого варианта нет. Тогда следует выбрать вариант, наиболее адекватный с точки зрения правильного направления градиента, который равен нулю в точке, то есть правильный ответ — **пункт d) — \(-i - 4j\): он не является градиентом в точке М(0), потому что градиент там равен нулю, а этот вектор — не нулевой.

Ответ: d) — \(- i - 4j\).