Дать ответ

Рассмотрим задачу: найти вид градиента скалярного поля \( u = x^2 + y^2 \) в точке М(0). Нам нужно выбрать правильный ответ из предложенных. Шаг 1. Найдем градиент поля \( u \). Градієнт – вектор частных похідних по переменным \( x \) и \( y \): \[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) \] Шаг 2. Вычислим частные производные: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = 2y \] Шаг 3. Представим градиент в виде вектора: \[ \nabla u = (2x, 2y) \] Шаг 4. Оценим градиент в точке М(0). Так как \( x = 0 \), \( y = 0 \): \[ \nabla u (0,0) = (0, 0) \] Это — нулевой вектор. Шаг 5. Посмотрим на варианты ответов. Вариант д): \(- i - 4j \). Он не равен нулю, следовательно, его не подходит. Что касается других вариантов: - \( a) \: i + j \) — это вектор (1,1), не нулевой. - \( b) \: 2i + 2j \) — это (2,2), не нулевой. - \( c) \: 4j + i \) — это (1,4), не нулевой. Следовательно, правильный ответ — это **нуль-градиент**, но такого варианта нет. Тогда следует выбрать вариант, наиболее адекватный с точки зрения правильного направления градиента, который равен нулю в точке, то есть правильный ответ — ****пункт d)** — \(-i - 4j\): он **не** является градиентом в точке М(0), потому что градиент там равен нулю, а этот вектор — не нулевой. Ответ: **d)** — \(- i - 4j\).