дать ответ

Для решения задачи нужно определить условие сходимости бесконечной суммы:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{n^3} \]

Или по-другому — разберем, при каких условиях эта серия сходится или расходится.

Шаг 1: Обозначим сумму

\[ a_n = \frac{4^n}{n^3} \]

Шаг 2: Анализ серии

Основная сложность — это бесконечная сумма, которая содержит экспоненциальный числитель \(4^n\) и в знаменателе полиномиальный \(n^3\). Чтобы понять, сходится ли сумма или нет, можно использовать признак сравнения или признак корня/признак Даламбера.

Шаг 3: Признак корня

Рассмотрим \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{4^n}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{4^n}}{\sqrt[n]{n^3}} = \frac{4}{\sqrt[n]{n^3}} \]

Потому что \(\sqrt[n]{4^n} = 4\). А \(\sqrt[n]{n^3} = n^{3/n}\). Чем больше \(n\), тем ближе \(n^{3/n}\) к 1.

Так что,

\[ \lim_{n \to \infty} n^{3/n} = 1 \]

следовательно,

\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac{4}{1} = 4 \]

Шаг 4: Применение признака корня

• Если \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} < 1\), серия сходится.
• Если \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} > 1\), серия расходится.
• Если равен 1 — дополнительно нужно смотреть другие признаки.

Так как \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 4 > 1\), то серия расходится.

Итог:

Для серии \(\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n^3}\):

Она расходится, так как ее общий член растет очень быстро, и сумма не сходится.

Если у вас есть какие-то дополнительные вопросы по этой задаче — спрашивайте!