Дать ответ

Для решения задачи нужно определить условие сходимости бесконечной суммы: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{n^3} \] Или по-другому — разберем, при каких условиях эта серия сходится или расходится. ### Шаг 1: Обозначим сумму \[ a_n = \frac{4^n}{n^3} \] ### Шаг 2: Анализ серии Основная сложность — это бесконечная сумма, которая содержит экспоненциальный числитель \(4^n\) и в знаменателе полиномиальный \(n^3\). Чтобы понять, сходится ли сумма или нет, можно использовать **признак сравнения или признак корня/признак Даламбера**. ### Шаг 3: Признак корня Рассмотрим \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{4^n}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{4^n}}{\sqrt[n]{n^3}} = \frac{4}{\sqrt[n]{n^3}} \] Потому что \(\sqrt[n]{4^n} = 4\). А \(\sqrt[n]{n^3} = n^{3/n}\). Чем больше \(n\), тем ближе \(n^{3/n}\) к 1. Так что, \[ \lim_{n \to \infty} n^{3/n} = 1 \] следовательно, \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac{4}{1} = 4 \] ### Шаг 4: Применение признака корня - Если \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} < 1\), серия сходится. - Если \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} > 1\), серия расходится. - Если равен 1 — дополнительно нужно смотреть другие признаки. Так как \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 4 > 1\), то **серия расходится**. ### Итог: Для серии \(\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n^3}\): **Она расходится**, так как ее общий член растет очень быстро, и сумма не сходится. --- Если у вас есть какие-то дополнительные вопросы по этой задаче — спрашивайте!