Давайте решим задачу поэтапно и подробно.
Дано:
- ∆ ABC — прямоугольный, то есть один из углов равен 90°.
- Гипотенуза AC равна 2.
- Один катет в 2 раза больше другого.
- Нужно найти длины катетов.
Шаг 1. Обозначим переменные
Обозначим:
- меньший катет через ( x ),
- больший катет, в 2 раза больше, через ( 2x ),
- гипотенузу — ( c = 2 ).
Метки для сторон:
- ( AB = x ),
- ( BC = 2x ),
- ( AC = 2 ) (гипотенуза).
Шаг 2. Используем теорему Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
[
AB^2 + BC^2 = AC^2
]
Подставляем известные значения:
[
x^2 + (2x)^2 = 2^2
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + 4x^2 = 4
]
Объединим подобные члены:
[
5x^2 = 4
]
Шаг 3. Решим уравнение
Делим обе части на 5:
[
x^2 = \frac{4}{5}
]
Находим ( x ):
[
x = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}
]
Можно оставить как есть или упростить:
[
x = \frac{2}{\sqrt{5}}
]
Для удобства обычно рационализируют знаменатель:
[
x = \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
]
Шаг 4. Определим катеты
- Маленький катет: ( x = \frac{2\sqrt{5}}{5} ),
- Большой катет: ( 2x = 2 \times \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{5} ).
Ответ:
- Меньший катет: (\boxed{\frac{2\sqrt{5}}{5}}),
- Больший катет: (\boxed{\frac{4\sqrt{5}}{5}}).
Если нужно, можно оставить ответ в таком виде или приблизительно в десятичном:
[
x \approx 0,8944, \quad 2x \approx 1,7888
]
Если есть вопросы или нужно подробнее объяснить любой из шагов, я готов помочь!
