∆ АВС – прямоугольный; гипотенуза равна 2, один катет в 2 раза больше другого. Найти катеты (рис. 1).
Давайте решим задачу поэтапно и подробно.
Дано:
- ∆ ABC — прямоугольный, то есть один из углов равен 90°.
- Гипотенуза AC равна 2.
- Один катет в 2 раза больше другого.
- Нужно найти длины катетов.
Шаг 1. Обозначим переменные
Обозначим:
- меньший катет через \( x \),
- больший катет, в 2 раза больше, через \( 2x \),
- гипотенузу — \( c = 2 \).
Метки для сторон:
- \( AB = x \),
- \( BC = 2x \),
- \( AC = 2 \) (гипотенуза).
Шаг 2. Используем теорему Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]
Подставляем известные значения:
\[ x^2 + (2x)^2 = 2^2 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + 4x^2 = 4 \]
Объединим подобные члены:
\[ 5x^2 = 4 \]
Шаг 3. Решим уравнение
Делим обе части на 5:
\[ x^2 = \frac{4}{5} \]
Находим \( x \):
\[ x = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \]
Можно оставить как есть или упростить:
\[ x = \frac{2}{\sqrt{5}} \]
Для удобства обычно рационализируют знаменатель:
\[ x = \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]
Шаг 4. Определим катеты
- Маленький катет: \( x = \frac{2\sqrt{5}}{5} \),
- Большой катет: \( 2x = 2 \times \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \).
Ответ:
- Меньший катет: \(\boxed{\frac{2\sqrt{5}}{5}}\),
- Больший катет: \(\boxed{\frac{4\sqrt{5}}{5}}\).
Если нужно, можно оставить ответ в таком виде или приблизительно в десятичном:
\[ x \approx 0,8944, \quad 2x \approx 1,7888 \]
Если есть вопросы или нужно подробнее объяснить любой из шагов, я готов помочь!
