Вынесите множитель из под знака корня
Давайте подробно разберём, как вынести множитель из-под знака корня.
Общая идея:
Если под корнем есть выражение, в котором есть множитель, вынесенный за знак корня, то для его вынесения нужно использовать свойства степени и корня.
Правило:
\[ \sqrt[n]{a^m \cdot b} = a^{m/n} \cdot \sqrt[n]{b} \] Если \(a\) — неотрицательное число, то.
Теперь применим это правило к каждому из примеров.
i) \(\sqrt{x^9}\)
Здесь под корнем \(x^9\).
Поскольку \(9\) — степень, а корень — это девятимой степени (предположим, что это квадратный корень, то есть степень 2, потому что знак \(\sqrt{\quad}\) — это корень степени 2).
Рассмотрим:
\[ \sqrt{x^9} = \sqrt{x^9} = x^{9/2} \]
Это уже "вынесение множителя" — выражение в виде степени.
Если бы у нас был множитель, например, внутри — \(x^9 \cdot a\), то вынесли бы его как:
\[ \sqrt{x^9 \cdot a} = \sqrt{x^9} \cdot \sqrt{a} = x^{9/2} \cdot \sqrt{a} \]
Но в данном случае — просто \(\sqrt{x^9} = x^{9/2}\).
k) \(\sqrt{8a^4}\)
Здесь под корнем \(8a^4\).
8 — число, которое можно представить как \(8 = 2^3\).
Поскольку мы работаем с квадратным корнем (\(\sqrt{\quad}\)), то:
\[ \sqrt{8a^4} = \sqrt{2^3 \cdot a^4} \]
Или:
\[ = \sqrt{2^3} \cdot \sqrt{a^4} \]
Теперь вынесем:
\[ \sqrt{2^3} = 2^{3/2} \] и
\[ \sqrt{a^4} = a^{4/2} = a^{2} \]
Итого:
\[ \sqrt{8a^4} = 2^{3/2} \cdot a^{2} \]
Можно оставить в виде:
\[ 2^{3/2} \cdot a^{2} \]
или выразить подробнее:
\[ = 2^{1 + 1/2} \cdot a^{2} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot a^{2} \]
л) \(\sqrt{-a^7}\)
Здесь под корнем \(-a^7\).
Если \(a\) — произвольное число, то внутри корня есть отрицательное число, что при работе с реальными числами невозможно — корень из отрицательного числа не определён.
Но, как если бы внутри было положительное число:
\[ \sqrt{-a^7} \quad \text{(если говорить о комплексных числах)}. \]
Если же речь идёт только о действительных числах, то решение — только при условии, что \(-a^7 \geq 0\):
- Тогда, \(a^7 \leq 0\).
Но, если \(a\) — отрицательное число, то:
\[ a^7 = a^{6+1} = a^{6} \cdot a \]
Является отрицательным, если \(a<0\).
В общем случае, для выражения:
\[ \sqrt{-a^7} = \sqrt{-1 \cdot a^7} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{a^7} \]
Здесь:
\[ = i \cdot a^{7/2} \]
— при условии, что выражение допускается в комплексных числах.
Итоговый ответ:
\(\sqrt{x^9} = x^{9/2}\)
\(\sqrt{8a^4} = 2^{3/2} \cdot a^2 = 2\sqrt{2} \cdot a^{2}\)
\(\sqrt{-a^7} = i \cdot a^{7/2}\) (если считать в комплексных числах).
Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение по какому-то примеру, скажи!
