Решите дробные уравнения, с полным объяснением

Давайте разберём решение данного уравнения пошагово:

Задача: \[ \frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3} \]

Шаг 1: Обратите внимание на равенство. Оно содержит одинаковые знаменатели \(x - 3\). Для того, чтобы упростить уравнение, сначала необходимо убедиться, что эти знаменатели не равны нулю:

\[ x - 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 3 \]

Это условие — исключение, чтобы деление не было определено.

Шаг 2: Упростим уравнение. Так как \(x - 3 \neq 0\), мы можем умножить обе части уравнения на \(x - 3\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[ x^2 - 6 = x \]

Шаг 3: Полученное уравнение — это квадратичное:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратичное уравнение. Используем формулу для корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\).

Подставляем значения:

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \]

\[ \Rightarrow x = \frac{1 \pm 5}{2} \]

Получаем два решения:

• \(x = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\)

• \(x = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

Шаг 5: Учтём условие исходного уравнения — \(x \neq 3\). Значит, корень \(x=3\) исключается, так как он делает знаменатель равным нулю.

Шаг 6: Итоговое решение:

\[ x = -2 \]

Это единственный допустимый корень.

Ответ: x = -2