Решите дробные уравнения, с полным объяснением

Давайте разберём решение данного уравнения пошагово: Задача: \[ \frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3} \] **Шаг 1:** Обратите внимание на равенство. Оно содержит одинаковые знаменатели \(x - 3\). Для того, чтобы упростить уравнение, сначала необходимо убедиться, что эти знаменатели не равны нулю: \[ x - 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 3 \] Это условие — исключение, чтобы деление не было определено. **Шаг 2:** Упростим уравнение. Так как \(x - 3 \neq 0\), мы можем умножить обе части уравнения на \(x - 3\), чтобы избавиться от знаменателя: \[ x^2 - 6 = x \] **Шаг 3:** Полученное уравнение — это квадратичное: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] **Шаг 4:** Решим квадратичное уравнение. Используем формулу для корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\). Подставляем значения: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ \Rightarrow x = \frac{1 \pm 5}{2} \] Получаем два решения: - \(x = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\) - \(x = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) **Шаг 5:** Учтём условие исходного уравнения — \(x \neq 3\). Значит, корень \(x=3\) исключается, так как он делает знаменатель равным нулю. **Шаг 6:** Итоговое решение: \[ x = -2 \] Это единственный допустимый корень. --- **Ответ:** **x = -2**