Найдите все прямоугольники с натуральными сторонами, площадь которых ровно в два раза больше периметра.

Давайте решим задачу: найдите все прямоугольники с натуральными сторонами, у которых площадь ровно в два раза больше периметра. Обозначим стороны прямоугольника как \( x \) и \( y \), где \( x, y \) — натуральные числа. **Шаг 1: Запишем условия задачи в виде уравнения** - Периметр прямоугольника: \[ P = 2(x + y) \] - Площадь прямоугольника: \[ S = xy \] Условие: площадь ровно в два раза больше периметра, значит: \[ xy = 2 \times P \] Подставим выражение для периметра: \[ xy = 2 \times 2(x + y) = 4(x + y) \] Получаем уравнение: \[ xy = 4(x + y) \] **Шаг 2: Перепишем уравнение** \[ xy = 4x + 4y \] Перенесем все в левую часть: \[ xy - 4x - 4y = 0 \] **Шаг 3: Вынесем общий множитель** Добавим и вычтем 16, чтобы разложить выражение на произведение: \[ xy - 4x - 4y + 16 - 16 = 0 \] \[ (xy - 4x - 4y + 16) = 16 \] Рассмотрим выражение слева: \[ xy - 4x - 4y + 16 \] Это похоже на разложение на множители по формуле: \[ (x - 4)(y - 4) = xy - 4x - 4y + 16 \] Потому что: \[ (x - 4)(y - 4) = xy - 4x - 4y + 16 \] Следовательно: \[ (x - 4)(y - 4) = 16 \] **Шаг 4: Найдём все натуральные решения** Теперь нужно найти все натуральные числа \( x, y \), такие что: \[ (x - 4)(y - 4) = 16 \] Обратите внимание, что \( x \) и \( y \) — натуральные числа, а значит: \[ x = k + 4,\quad y = m + 4 \] где \( k, m \) — целые делители 16. Делители 16: \[ 16 = 1 \times 16,\quad 2 \times 8,\quad 4 \times 4,\quad \text{и их перестановки} \] Рассмотрим все возможные положительные делители: 1. \( (k, m) = (1, 16) \) Тогда: \[ x = 1 + 4 = 5, \quad y = 16 + 4 = 20 \] 2. \( (k, m) = (16, 1) \) Тогда: \[ x = 16 + 4 = 20, \quad y = 1 + 4 = 5 \] 3. \( (k, m) = (2, 8) \) Тогда: \[ x = 2 + 4 = 6, \quad y = 8 + 4 = 12 \] 4. \( (k, m) = (8, 2) \) Тогда: \[ x = 8 + 4 = 12, \quad y = 2 + 4 = 6 \] 5. \( (k, m) = (4, 4) \) Тогда: \[ x = 4 + 4 = 8, \quad y = 4 + 4 = 8 \] **Шаг 5: Итоговые решения** Нас интересуют натуральные стороны, и везде они положительны, так как добавляем 4 к делителям 16. Значит, все полученные пары подходят: - \( (x, y) = (5, 20) \) - \( (20, 5) \) - \( (6, 12) \) - \( (12, 6) \) - \( (8, 8) \) Вывод: все такие прямоугольники с натуральными сторонами, у которых площадь в два раза больше периметра, имеют стороны: \[ \boxed{ \begin{aligned} &(5, 20), \\ &(20, 5), \\ &(6, 12), \\ &(12, 6), \\ &(8, 8). \end{aligned} } \] Если нужно, можно проверить каждое решение подставляя обратно в условие, чтобы убедиться в правильности.