Найдите все прямоугольники с натуральными сторонами, площадь которых ровно в два раза больше периметра.

Давайте решим задачу: найдите все прямоугольники с натуральными сторонами, у которых площадь ровно в два раза больше периметра.

Обозначим стороны прямоугольника как \( x \) и \( y \), где \( x, y \) — натуральные числа.

Шаг 1: Запишем условия задачи в виде уравнения

• Периметр прямоугольника:
  \[ P = 2(x + y) \]

• Площадь прямоугольника:
  \[ S = xy \]

Условие: площадь ровно в два раза больше периметра, значит:
\[ xy = 2 \times P \]

Подставим выражение для периметра:
\[ xy = 2 \times 2(x + y) = 4(x + y) \]

Получаем уравнение:
\[ xy = 4(x + y) \]

Шаг 2: Перепишем уравнение

\[ xy = 4x + 4y \]

Перенесем все в левую часть:
\[ xy - 4x - 4y = 0 \]

Шаг 3: Вынесем общий множитель

Добавим и вычтем 16, чтобы разложить выражение на произведение:
\[ xy - 4x - 4y + 16 - 16 = 0 \] \[ (xy - 4x - 4y + 16) = 16 \]

Рассмотрим выражение слева:
\[ xy - 4x - 4y + 16 \]

Это похоже на разложение на множители по формуле:
\[ (x - 4)(y - 4) = xy - 4x - 4y + 16 \]

Потому что:
\[ (x - 4)(y - 4) = xy - 4x - 4y + 16 \]

Следовательно:
\[ (x - 4)(y - 4) = 16 \]

Шаг 4: Найдём все натуральные решения

Теперь нужно найти все натуральные числа \( x, y \), такие что:
\[ (x - 4)(y - 4) = 16 \]

Обратите внимание, что \( x \) и \( y \) — натуральные числа, а значит:
\[ x = k + 4,\quad y = m + 4 \] где \( k, m \) — целые делители 16.

Делители 16:
\[ 16 = 1 \times 16,\quad 2 \times 8,\quad 4 \times 4,\quad \text{и их перестановки} \]

Рассмотрим все возможные положительные делители:

1. \( (k, m) = (1, 16) \)

   Тогда:
   \[ x = 1 + 4 = 5, \quad y = 16 + 4 = 20 \]

2. \( (k, m) = (16, 1) \)

   Тогда:
   \[ x = 16 + 4 = 20, \quad y = 1 + 4 = 5 \]

3. \( (k, m) = (2, 8) \)

   Тогда:
   \[ x = 2 + 4 = 6, \quad y = 8 + 4 = 12 \]

4. \( (k, m) = (8, 2) \)

   Тогда:
   \[ x = 8 + 4 = 12, \quad y = 2 + 4 = 6 \]

5. \( (k, m) = (4, 4) \)

   Тогда:
   \[ x = 4 + 4 = 8, \quad y = 4 + 4 = 8 \]

Шаг 5: Итоговые решения

Нас интересуют натуральные стороны, и везде они положительны, так как добавляем 4 к делителям 16. Значит, все полученные пары подходят:

• \( (x, y) = (5, 20) \)
• \( (20, 5) \)
• \( (6, 12) \)
• \( (12, 6) \)
• \( (8, 8) \)

Вывод: все такие прямоугольники с натуральными сторонами, у которых площадь в два раза больше периметра, имеют стороны:

\[ \boxed{ \begin{aligned} &(5, 20), \\ &(20, 5), \\ &(6, 12), \\ &(12, 6), \\ &(8, 8). \end{aligned} } \]

Если нужно, можно проверить каждое решение подставляя обратно в условие, чтобы убедиться в правильности.