Докажите, что 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (n * (n + 1) * (2n + 1)) : 6.

Давайте докажем формулу: \[1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\] Для этого используем математическую индукцию. ### Шаг 1: Проверка базы (при n=1) Подставим n=1: \[1^2 = \frac{1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1\] Это верно, значит, база индукции подтверждена. ### Шаг 2: Предположим, что формула верна для некоторого n = k, то есть: \[1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}\] ### Шаг 3: Докажем, что формула верна для n = k + 1 Требуется показать: \[1^2 + 2^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k + 2)(2(k+1) + 1)}{6}\] Используем предположение индукции: \[1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}\] Тогда сумма для \(k+1\): \[ \begin{aligned} & \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 \\ &= \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + \frac{6(k + 1)^2}{6} \quad \text{(приводим к общему знаменателю)} \\ &= \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2}{6} \end{aligned} \] Выделим \((k + 1)\): \[ = \frac{(k + 1) [k(2k + 1) + 6(k + 1)]}{6} \] Раскроем скобки внутри: \[ k(2k + 1) = 2k^2 + k \\ 6(k + 1) = 6k + 6 \] Итак, числитель: \[ (k + 1)(2k^2 + k + 6k + 6) = (k + 1)(2k^2 + 7k + 6) \] Рассчитаем разложение квадратика: \[ 2k^2 + 7k + 6 = (2k + 3)(k + 2) \] Потому что: \[ (2k + 3)(k + 2) = 2k \cdot k + 2k \cdot 2 + 3 \cdot k + 3 \cdot 2 = 2k^2 + 4k + 3k + 6 = 2k^2 + 7k + 6 \] Значит, \[ \text{итоговая сумма} = \frac{(k + 1)(2k + 3)(k + 2)}{6} \] Обратите внимание: \[ (k + 1)(k + 2)(2k + 3) \] Это то, что нужно для выражения в виде формулы при \(k + 1\). В самом деле, заметим, что: \[ \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \] Это соответствует формуле, подставленной для \(n = k + 1\). ### Итог: Мы доказали, что если формула верна для \(k\), то она верна и для \(k + 1\). А так как база (для n=1) подтверждена, по принципу математической индукции она верна для всех натуральных чисел \(n\). ### Ответ: \[ \boxed{ 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} } \]