Докажите, что 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (n * (n + 1) * (2n + 1)) : 6.
Давайте докажем формулу:
\[1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\]
Для этого используем математическую индукцию.
Шаг 1: Проверка базы (при n=1)
Подставим n=1:
\[1^2 = \frac{1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1\]
Это верно, значит, база индукции подтверждена.
Шаг 2: Предположим, что формула верна для некоторого n = k, то есть:
\[1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}\]
Шаг 3: Докажем, что формула верна для n = k + 1
Требуется показать:
\[1^2 + 2^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k + 2)(2(k+1) + 1)}{6}\]
Используем предположение индукции:
\[1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}\]
Тогда сумма для \(k+1\):
\[
\begin{aligned}
& \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 \\
&= \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + \frac{6(k + 1)^2}{6} \quad \text{(приводим к общему знаменателю)} \\
&= \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2}{6}
\end{aligned}
\]
Выделим \((k + 1)\):
\[
= \frac{(k + 1) [k(2k + 1) + 6(k + 1)]}{6}
\]
Раскроем скобки внутри:
\[
k(2k + 1) = 2k^2 + k \\
6(k + 1) = 6k + 6
\]
Итак, числитель:
\[
(k + 1)(2k^2 + k + 6k + 6) = (k + 1)(2k^2 + 7k + 6)
\]
Рассчитаем разложение квадратика:
\[
2k^2 + 7k + 6 = (2k + 3)(k + 2)
\]
Потому что:
\[
(2k + 3)(k + 2) = 2k \cdot k + 2k \cdot 2 + 3 \cdot k + 3 \cdot 2 = 2k^2 + 4k + 3k + 6 = 2k^2 + 7k + 6
\]
Значит,
\[
\text{итоговая сумма} = \frac{(k + 1)(2k + 3)(k + 2)}{6}
\]
Обратите внимание:
\[
(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
\]
Это то, что нужно для выражения в виде формулы при \(k + 1\). В самом деле, заметим, что:
\[
\frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}
\]
Это соответствует формуле, подставленной для \(n = k + 1\).
Итог:
Мы доказали, что если формула верна для \(k\), то она верна и для \(k + 1\). А так как база (для n=1) подтверждена, по принципу математической индукции она верна для всех натуральных чисел \(n\).
Ответ:
\[ \boxed{ 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} } \]
