Давайте пошагово решим задачу:
Дано:
- Форма сосуда — конус.
- Уровень жидкости достигает 4/5 высоты сосуда.
- Полный объем сосуда — 2000 мл.
Нам нужно найти объем налитой жидкости.
Шаг 1. Понимание задачи
Объем жидкости — это часть объема сосуда, соответствующая высоте 4/5 полного объема.
Поскольку сосуд — конус, объем которого пропорционален кубу высоты (при постоянных параметрах конуса), при заполнении на 4/5 высоты объем жидкости будет равен (4/5)³ полного объема.
Шаг 2. Формула объема конуса
Объем полного конуса:
[
V_{полного} = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]
где:
- ( r ) — радиус основания,
- ( h ) — высота сосуда.
При заполнении на меньшей высоте ( h_1 = \frac{4}{5}h ), радиус уровня жидкости ( r_1 ) растет пропорционально высоте:
[
r_1 = \frac{h_1}{h} \times r = \frac{4}{5}r
]
Объем жидкости:
[
V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1
]
Подставляя:
[
V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{4}{5}r \right)^2 \times \frac{4}{5}h
]
[
V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi \times \left(\frac{16}{25} r^2 \right) \times \frac{4}{5} h
]
[
V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \times \frac{16}{25} \times \frac{4}{5}
]
Обратите внимание, что ( \frac{1}{3} \pi r^2 h ) — это объем полного конуса ( V_{полного} ):
[
V_{жидкости} = V_{полного} \times \frac{16}{25} \times \frac{4}{5}
]
Посчитаем:
[
V_{жидкости} = V_{полного} \times \frac{16}{25} \times \frac{4}{5} = V_{полного} \times \frac{16 \times 4}{25 \times 5} = V_{полного} \times \frac{64}{125}
]
Шаг 3. Вычисление объем
Из условия, полный объем ( V_{полного} = 2000,мл ).
Следовательно:
[
V_{жидкости} = 2000 \times \frac{64}{125}
]
Выполним деление:
[
\frac{2000}{125} = 16
]
(так как (125 \times 16 = 2000)).
Entonces:
[
V_{жидкости} = 16 \times 64 = 1024,мл
]
Ответ:
Объем налитой жидкости — 1024 мл.
