В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 4/5 высоты. Объем сосуда равен 2000 мл. Найдите объем налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
Давайте пошагово решим задачу:
Дано:
- Форма сосуда — конус.
- Уровень жидкости достигает 4/5 высоты сосуда.
- Полный объем сосуда — 2000 мл.
Нам нужно найти объем налитой жидкости.
Шаг 1. Понимание задачи
Объем жидкости — это часть объема сосуда, соответствующая высоте 4/5 полного объема.
Поскольку сосуд — конус, объем которого пропорционален кубу высоты (при постоянных параметрах конуса), при заполнении на 4/5 высоты объем жидкости будет равен (4/5)³ полного объема.
Шаг 2. Формула объема конуса
Объем полного конуса: \[ V_{полного} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где:
- \( r \) — радиус основания,
- \( h \) — высота сосуда.
При заполнении на меньшей высоте \( h_1 = \frac{4}{5}h \), радиус уровня жидкости \( r_1 \) растет пропорционально высоте:
\[ r_1 = \frac{h_1}{h} \times r = \frac{4}{5}r \]
Объем жидкости: \[ V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 \] Подставляя: \[ V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{4}{5}r \right)^2 \times \frac{4}{5}h \] \[ V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi \times \left(\frac{16}{25} r^2 \right) \times \frac{4}{5} h \] \[ V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \times \frac{16}{25} \times \frac{4}{5} \]
Обратите внимание, что \( \frac{1}{3} \pi r^2 h \) — это объем полного конуса \( V_{полного} \):
\[ V_{жидкости} = V_{полного} \times \frac{16}{25} \times \frac{4}{5} \]
Посчитаем:
\[ V_{жидкости} = V_{полного} \times \frac{16}{25} \times \frac{4}{5} = V_{полного} \times \frac{16 \times 4}{25 \times 5} = V_{полного} \times \frac{64}{125} \]
Шаг 3. Вычисление объем
Из условия, полный объем \( V_{полного} = 2000\,мл \).
Следовательно: \[ V_{жидкости} = 2000 \times \frac{64}{125} \]
Выполним деление: \[ \frac{2000}{125} = 16 \] (так как \(125 \times 16 = 2000\)).
Entonces: \[ V_{жидкости} = 16 \times 64 = 1024\,мл \]
Ответ:
Объем налитой жидкости — 1024 мл.
