задача 2

Поскольку вы указали, что вам нужна помощь с задачей 2, я приведу решение этой задачи по порядку.

Задача 2:**
"Решите неравенство \(\frac{2x-3}{x^2 - 8x} \ge 0\)."

Шаг 1. Анализируем неравенство

Нам нужно решить:
\[ \frac{2x - 3}{x^2 - 8x} \ge 0 \]

Для этого рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.

Шаг 2. Найдем нули числителя и знаменателя

• Ноль числителя:
  \[ 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \]

• Ноль знаменателя:
  \[ x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(x - 8) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 8 \]

Обратите внимание: знаменатель не должен равняться нулю, потому что деление на ноль — это неопределенность. Значит, переменная \(x\) не может принимать значения 0 и 8.

Шаг 3. Исследуем знаки выражения

• Точка \(x = \frac{3}{2}\) — ноль числителя
• Точки \(x = 0\) и \(x=8\) — точки разрыва (знаменатель равен нулю)

Обозначим эти точки на числовой оси:

\[ 0,\ \frac{3}{2},\ 8 \]

Разделим числовую ось на интервалы:

• \((-\infty, 0)\)
• \((0, \frac{3}{2})\)
• \((\frac{3}{2}, 8)\)
• \((8, +\infty)\)

Шаг 4. Определим знак выражения в каждом интервале

Для этого выберем тестовые точки:

• \(-1\) для интервала \((-\infty, 0)\)
• \(1\) для интервала \((0, \frac{3}{2})\)
• \(2\) для интервала \((\frac{3}{2}, 8)\)
• \(9\) для интервала \((8, +\infty)\)

Рассмотрим знак числителя \(2x - 3\):

• В точке \(x = -1\):
  \[ 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5 \quad \text{(отрицательное)} \]
• В точке \(x=1\):
  \[ 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1 \quad \text{(отрицательное)} \]
• В точке \(x=2\):
  \[ 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 \quad \text{(положительное)} \]
• В точке \(x=9\):
  \[ 2(9) - 3 = 18 - 3 = 15 \quad \text{(положительное)} \]

Теперь рассмотрим знак знаменателя \(x^2 - 8x = x(x-8)\):

• Для \(x = -1\): \[ -1 \times (-1 - 8) = -1 \times (-9) = 9 > 0 \]
• Для \(x = 1\): \[ 1 \times (1-8) = 1 \times (-7) = -7 < 0 \]
• Для \(x = 2\): \[ 2 \times (2 - 8) = 2 \times (-6) = -12 < 0 \]
• Для \(x = 9\): \[ 9 \times (9 - 8) = 9 \times 1 = 9 > 0 \]

Итоги для каждого интервала:

Шаг 5. Запишем решение неравенства

Нам нужно, чтобы выражение было \больше или равно 0:

• На интервале \((0, \frac{3}{2})\), выражение положительно, и оно равно 0 в точке \(\frac{3}{2}\).
• На интервале \((8, +\infty)\), выражение положительно.

Обратите внимание, что точка \(x = \frac{3}{2}\) — ноль, и входить в решение можно, так как знак >=.

Значения \(x=0\) и \(x=8\) исключены (знаменатель равен 0).

Итог:

\[ x \in \left[\frac{3}{2}, 8\right) \cup (8, +\infty) \]

Также, поскольку в интервале \((8, +\infty)\) знак положительный, и в точке \(+ \infty\) это допустимо, то границы:

\[ x \in \left[\frac{3}{2}, 8\right) \cup (8, +\infty) \]

или, более коротко:

\[ x \in \left[\frac{3}{2}, +\infty\right) \setminus \{8\} \]

Ответ:
\[ \boxed{ x \in \left[\frac{3}{2}, 8\right) \cup (8, +\infty) } \]