Задача 2

Поскольку вы указали, что вам нужна помощь с задачей 2, я приведу решение этой задачи по порядку. Задача 2:** "Решите неравенство \(\frac{2x-3}{x^2 - 8x} \ge 0\)." --- ### Шаг 1. Анализируем неравенство Нам нужно решить: \[ \frac{2x - 3}{x^2 - 8x} \ge 0 \] Для этого рассмотрим числитель и знаменатель отдельно. --- ### Шаг 2. Найдем нули числителя и знаменателя - Ноль числителя: \[ 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \] - Ноль знаменателя: \[ x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(x - 8) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 8 \] Обратите внимание: знаменатель не должен равняться нулю, потому что деление на ноль — это неопределенность. Значит, переменная \(x\) не может принимать значения 0 и 8. --- ### Шаг 3. Исследуем знаки выражения - Точка \(x = \frac{3}{2}\) — ноль числителя - Точки \(x = 0\) и \(x=8\) — точки разрыва (знаменатель равен нулю) Обозначим эти точки на числовой оси: \[ 0,\ \frac{3}{2},\ 8 \] Разделим числовую ось на интервалы: - \((-\infty, 0)\) - \((0, \frac{3}{2})\) - \((\frac{3}{2}, 8)\) - \((8, +\infty)\) --- ### Шаг 4. Определим знак выражения в каждом интервале Для этого выберем тестовые точки: - \(-1\) для интервала \((-\infty, 0)\) - \(1\) для интервала \((0, \frac{3}{2})\) - \(2\) для интервала \((\frac{3}{2}, 8)\) - \(9\) для интервала \((8, +\infty)\) Рассмотрим знак числителя \(2x - 3\): - В точке \(x = -1\): \[ 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5 \quad \text{(отрицательное)} \] - В точке \(x=1\): \[ 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1 \quad \text{(отрицательное)} \] - В точке \(x=2\): \[ 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 \quad \text{(положительное)} \] - В точке \(x=9\): \[ 2(9) - 3 = 18 - 3 = 15 \quad \text{(положительное)} \] Теперь рассмотрим знак знаменателя \(x^2 - 8x = x(x-8)\): - Для \(x = -1\): \[ -1 \times (-1 - 8) = -1 \times (-9) = 9 > 0 \] - Для \(x = 1\): \[ 1 \times (1-8) = 1 \times (-7) = -7 < 0 \] - Для \(x = 2\): \[ 2 \times (2 - 8) = 2 \times (-6) = -12 < 0 \] - Для \(x = 9\): \[ 9 \times (9 - 8) = 9 \times 1 = 9 > 0 \] ### Итоги для каждого интервала: | Интервал | Знак числителя | Знак знаменателя | Знак выражения \(\frac{2x-3}{x^2 - 8x}\) | |----------------------|----------------|------------------|----------------------------------------| | \((-\infty, 0)\) | отрицательный | положительный | отрицательный | | \((0, \frac{3}{2})\)| отрицательный | отрицательный | положительный | | \((\frac{3}{2}, 8)\) | положительный | отрицательный | отрицательный | | \((8, +\infty)\) | положительный | положительный | положительный | --- ### Шаг 5. Запишем решение неравенства Нам нужно, чтобы выражение было \больше или равно 0\: - На интервале \((0, \frac{3}{2})\), выражение положительно, и оно равно 0 в точке \(\frac{3}{2}\). - На интервале \((8, +\infty)\), выражение положительно. Обратите внимание, что точка \(x = \frac{3}{2}\) — ноль, и входить в решение можно, так как знак >=. Значения \(x=0\) и \(x=8\) исключены (знаменатель равен 0). ### Итог: \[ x \in \left[\frac{3}{2}, 8\right) \cup (8, +\infty) \] Также, поскольку в интервале \((8, +\infty)\) знак положительный, и в точке \(+ \infty\) это допустимо, то границы: \[ x \in \left[\frac{3}{2}, 8\right) \cup (8, +\infty) \] или, более коротко: \[ x \in \left[\frac{3}{2}, +\infty\right) \setminus \{8\} \] --- **Ответ:** \[ \boxed{ x \in \left[\frac{3}{2}, 8\right) \cup (8, +\infty) } \]