Докажите, что (2^n - 1)^n - 3 делится на 2^n - 3.

Давайте докажем, что выражение \((2^n - 1)^n - 3\) делится на \(2^n - 3\) для любого натурального числа \(n\).

Шаг 1: Обозначения и формулировка задачи

Нам нужно показать, что число \(2^n - 3\) — делитель числа \((2^n - 1)^n - 3\). Иными словами, нам нужно доказать, что:

\[ (2^n - 1)^n - 3 \equiv 0 \pmod{2^n - 3} \]

или

\[ (2^n - 1)^n \equiv 3 \pmod{2^n - 3} \]

Шаг 2: Свойства по модулю \(2^n - 3\)

Обозначим \(m = 2^n - 3\). Тогда из определения:

\[ 2^n = m + 3 \]

Рассмотрим выражение \((2^n - 1)^n\) по модулю \(m\):

\[ (2^n - 1)^n \equiv (m + 3 - 1)^n \equiv (m + 2)^n \pmod{m} \]

Известно, что по модулю \(m\):

\[ (m + 2)^n \equiv 2^n \pmod{m} \]

Это потому, что степени \(m\) и \(m + 2\) отличаются на число, делящееся на \(m\), и в биномаическом разложении все слагаемые, кроме первого и последнего, связаны с \(m\), и их можно свести по модулю \(m\).

Шаг 3: Связь с \(2^n\)

Так как мы знаем, что:

\[ 2^n \equiv ? \pmod{m} \]

и что \(m = 2^n - 3\), то:

\[ 2^n \equiv ? \pmod{2^n - 3} \]

Но по определению, \(2^n \equiv 3 \pmod{m}\), поскольку \(2^n - 3 \equiv 0 \pmod{m}\).

Следовательно,

\[ 2^n \equiv 3 \pmod{2^n - 3} \]

Вернемся к выражению \((2^n - 1)^n\):

\[ (2^n - 1)^n \equiv (m + 2)^n \equiv 2^n \equiv 3 \pmod{m} \]

Итак,

\[ (2^n - 1)^n \equiv 3 \pmod{2^n - 3} \]

что и требовалось доказать.

Вывод:

\[ \boxed{ (2^n - 1)^n - 3 \text{ делится на } 2^n - 3 } \]

или, в более общем виде:

\[ (2^n - 1)^n \equiv 3 \pmod{2^n - 3} \]

Если есть дополнительные вопросы или нужен более подробный разбор — обращайтесь!