Докажите, что (2^n - 1)^n - 3 делится на 2^n - 3.

Давайте докажем, что выражение \((2^n - 1)^n - 3\) делится на \(2^n - 3\) для любого натурального числа \(n\). --- ### Шаг 1: Обозначения и формулировка задачи Нам нужно показать, что число \(2^n - 3\) — делитель числа \((2^n - 1)^n - 3\). Иными словами, нам нужно доказать, что: \[ (2^n - 1)^n - 3 \equiv 0 \pmod{2^n - 3} \] или \[ (2^n - 1)^n \equiv 3 \pmod{2^n - 3} \] --- ### Шаг 2: Свойства по модулю \(2^n - 3\) Обозначим \(m = 2^n - 3\). Тогда из определения: \[ 2^n = m + 3 \] Рассмотрим выражение \((2^n - 1)^n\) по модулю \(m\): \[ (2^n - 1)^n \equiv (m + 3 - 1)^n \equiv (m + 2)^n \pmod{m} \] Известно, что по модулю \(m\): \[ (m + 2)^n \equiv 2^n \pmod{m} \] Это потому, что степени \(m\) и \(m + 2\) отличаются на число, делящееся на \(m\), и в биномаическом разложении все слагаемые, кроме первого и последнего, связаны с \(m\), и их можно свести по модулю \(m\). --- ### Шаг 3: Связь с \(2^n\) Так как мы знаем, что: \[ 2^n \equiv ? \pmod{m} \] и что \(m = 2^n - 3\), то: \[ 2^n \equiv ? \pmod{2^n - 3} \] Но по определению, \(2^n \equiv 3 \pmod{m}\), поскольку \(2^n - 3 \equiv 0 \pmod{m}\). Следовательно, \[ 2^n \equiv 3 \pmod{2^n - 3} \] Вернемся к выражению \((2^n - 1)^n\): \[ (2^n - 1)^n \equiv (m + 2)^n \equiv 2^n \equiv 3 \pmod{m} \] Итак, \[ (2^n - 1)^n \equiv 3 \pmod{2^n - 3} \] что и требовалось доказать. --- ### **Вывод:** \[ \boxed{ (2^n - 1)^n - 3 \text{ делится на } 2^n - 3 } \] или, в более общем виде: \[ (2^n - 1)^n \equiv 3 \pmod{2^n - 3} \] --- Если есть дополнительные вопросы или нужен более подробный разбор — обращайтесь!