Упростить ((2 ^ 0.75 - root(2, 4))/(1 - sqrt(2)) + (1 + sqrt(2))/(2 ^ 0.25)) ^ 2 * (1, 5 - 2/(sqrt(2))) ^ (1/2)

Давайте подробно разберем выражение: \[ \left( \frac{2^{0.75} - \sqrt[4]{2}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{1 + \sqrt{2}}{2^{0.25}} \right)^2 \times \left(1.5 - \frac{2}{\sqrt{2}}\right)^{1/2} \] **Шаг 1: Упростим каждую часть выражения по отдельности.** --- ### часть 1: \(\frac{2^{0.75} - \sqrt[4]{2}}{1 - \sqrt{2}}\) - \(2^{0.75}\): Можно переписать как \(2^{3/4}\) и использовать свойства степеней. - \(\sqrt[4]{2}\): Это \(2^{1/4}\). - Заметим, что \(2^{0.75} = 2^{3/4}\). Тогда: \[ 2^{3/4} - 2^{1/4} \] --- ### часть 2: \( \frac{1 + \sqrt{2}}{2^{0.25}} \) - \(2^{0.25} = 2^{1/4}\). - Поэтому вторая часть: \[ \frac{1 + \sqrt{2}}{2^{1/4}} \] --- ### Объединим: \[ \left( \frac{2^{3/4} - 2^{1/4}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{1 + \sqrt{2}}{2^{1/4}} \right) \] --- ### Шаг 2: Упростим каждую дробь и выражения внутри. --- #### Упростим первую дробь: \(\frac{2^{3/4} - 2^{1/4}}{1 - \sqrt{2}}\) - Обозначим \(a = 2^{1/4}\). Тогда: \[ 2^{3/4} = (2^{1/4})^{3} = a^{3} \] и \[ 2^{1/4} = a \] - Замена даст: \[ \frac{a^{3} - a}{1 - \sqrt{2}} \] - Заметим, что: \[ a = 2^{1/4} \quad \Rightarrow \quad a^4 = 2 \] - И какой же \(\sqrt{2}\)? \[ \sqrt{2} = 2^{1/2} \] - Теперь упростим выражение \(a^3 - a\): \[ a^{3} - a = a(a^{2} - 1) \] - Но \(a^{2} = (2^{1/4})^{2} = 2^{1/2} = \sqrt{2}\) - Тогда: \[ a(a^{2} - 1) = a(\sqrt{2} - 1) \] ### Подставляем: \[ \frac{a(\sqrt{2} - 1)}{1 - \sqrt{2}} \] Заметим, что \(1 - \sqrt{2} = - (\sqrt{2} - 1)\), потому: \[ \frac{a(\sqrt{2} - 1)}{1 - \sqrt{2}} = \frac{a(\sqrt{2} - 1)}{- (\sqrt{2} - 1)} = -a \] --- ### Теперь вторая часть: \(\frac{1 + \sqrt{2}}{2^{1/4}}\) - \(2^{1/4} = a\) - Разделение: \[ \frac{1}{a} + \frac{\sqrt{2}}{a} \] - Так как \(a = 2^{1/4}\), то: \[ \frac{1}{a} = 2^{-1/4} \] - Также, \(\fract{\sqrt{2}}{a}\): \[ \sqrt{2} = 2^{1/2} \] \[ \frac{\sqrt{2}}{a} = \frac{2^{1/2}}{2^{1/4}} = 2^{1/2 - 1/4} = 2^{1/4} \] - Итог: \[ \frac{1 + \sqrt{2}}{2^{1/4}} = 2^{-1/4} + 2^{1/4} \] --- ### Итог для части 1: \[ \text{Внутри скобок: } (-a) + (2^{-1/4} + 2^{1/4}) \] Но так как \(a = 2^{1/4}\), то: \[ -2^{1/4} + 2^{-1/4} + 2^{1/4} \] Обратите внимание, что \(-2^{1/4}\) и \(+ 2^{1/4}\) сокращаются: \[ 0 + 2^{-1/4} = 2^{-1/4} \] --- ## Первое скобочное выражение равно: \[ 2^{-1/4} \] --- ### Шаг 3: Возводим в квадрат \[ (2^{-1/4})^2 = 2^{-1/4 \times 2} = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] --- ## Вторая часть выражения: \(\left(1.5 - \frac{2}{\sqrt{2}}\right)^{1/2}\) Приведем к общему знаменателю или упростим: \[ \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{2^{1/2}} = 2^{1} / 2^{1/2} = 2^{1 - 1/2} = 2^{1/2} = \sqrt{2} \] Теперь: \[ 1.5 - \sqrt{2} \] - \(1.5 = \frac{3}{2}\) Итак, выражение под корнем: \[ \left( \frac{3}{2} - \sqrt{2} \right)^{1/2} \] --- ### Теперь соберем все вместе: \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times \left( \frac{3}{2} - \sqrt{2} \right)^{1/2} \] --- ### Итоговое выражение: \[ \boxed{ \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{\frac{3}{2} - \sqrt{2}} } \] Можно оставить так, так как это — финальное упрощение. --- ## **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{\frac{3}{2} - \sqrt{2}} } \] или в виде одного корня: \[ \boxed{ \frac{\sqrt{\frac{3}{2} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2}} } \] Если нужно, можно оставить именно так — это максимально упрощенное выражение. --- Если есть вопросы или нужно более компактное представление, скажите!