Упростить ((2 ^ 0.75 - root(2, 4))/(1 - sqrt(2)) + (1 + sqrt(2))/(2 ^ 0.25)) ^ 2 * (1, 5 - 2/(sqrt(2))) ^ (1/2)
Давайте подробно разберем выражение:
\[
\left( \frac{2^{0.75} - \sqrt[4]{2}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{1 + \sqrt{2}}{2^{0.25}} \right)^2 \times \left(1.5 - \frac{2}{\sqrt{2}}\right)^{1/2}
\]
Шаг 1: Упростим каждую часть выражения по отдельности.
часть 1: \(\frac{2^{0.75} - \sqrt[4]{2}}{1 - \sqrt{2}}\)
\(2^{0.75}\):
Можно переписать как \(2^{3/4}\) и использовать свойства степеней.\(\sqrt[4]{2}\):
Это \(2^{1/4}\).Заметим, что \(2^{0.75} = 2^{3/4}\).
Тогда:
\[ 2^{3/4} - 2^{1/4} \]
часть 2: \( \frac{1 + \sqrt{2}}{2^{0.25}} \)
- \(2^{0.25} = 2^{1/4}\).
- Поэтому вторая часть:
\[ \frac{1 + \sqrt{2}}{2^{1/4}} \]
Объединим:
\[ \left( \frac{2^{3/4} - 2^{1/4}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{1 + \sqrt{2}}{2^{1/4}} \right) \]
Шаг 2: Упростим каждую дробь и выражения внутри.
Упростим первую дробь: \(\frac{2^{3/4} - 2^{1/4}}{1 - \sqrt{2}}\)
- Обозначим \(a = 2^{1/4}\). Тогда:
\[ 2^{3/4} = (2^{1/4})^{3} = a^{3} \]
и
\[ 2^{1/4} = a \]
- Замена даст:
\[ \frac{a^{3} - a}{1 - \sqrt{2}} \]
- Заметим, что:
\[ a = 2^{1/4} \quad \Rightarrow \quad a^4 = 2 \]
- И какой же \(\sqrt{2}\)?
\[ \sqrt{2} = 2^{1/2} \]
- Теперь упростим выражение \(a^3 - a\):
\[ a^{3} - a = a(a^{2} - 1) \]
Но \(a^{2} = (2^{1/4})^{2} = 2^{1/2} = \sqrt{2}\)
Тогда:
\[ a(a^{2} - 1) = a(\sqrt{2} - 1) \]
Подставляем:
\[ \frac{a(\sqrt{2} - 1)}{1 - \sqrt{2}} \]
Заметим, что \(1 - \sqrt{2} = - (\sqrt{2} - 1)\), потому:
\[ \frac{a(\sqrt{2} - 1)}{1 - \sqrt{2}} = \frac{a(\sqrt{2} - 1)}{- (\sqrt{2} - 1)} = -a \]
Теперь вторая часть: \(\frac{1 + \sqrt{2}}{2^{1/4}}\)
\(2^{1/4} = a\)
Разделение:
\[ \frac{1}{a} + \frac{\sqrt{2}}{a} \]
- Так как \(a = 2^{1/4}\), то:
\[ \frac{1}{a} = 2^{-1/4} \]
- Также, \(\fract{\sqrt{2}}{a}\):
\[ \sqrt{2} = 2^{1/2} \]
\[ \frac{\sqrt{2}}{a} = \frac{2^{1/2}}{2^{1/4}} = 2^{1/2 - 1/4} = 2^{1/4} \]
- Итог:
\[ \frac{1 + \sqrt{2}}{2^{1/4}} = 2^{-1/4} + 2^{1/4} \]
Итог для части 1:
\[ \text{Внутри скобок: } (-a) + (2^{-1/4} + 2^{1/4}) \]
Но так как \(a = 2^{1/4}\), то:
\[ -2^{1/4} + 2^{-1/4} + 2^{1/4} \]
Обратите внимание, что \(-2^{1/4}\) и \(+ 2^{1/4}\) сокращаются:
\[ 0 + 2^{-1/4} = 2^{-1/4} \]
Первое скобочное выражение равно:
\[ 2^{-1/4} \]
Шаг 3: Возводим в квадрат
\[ (2^{-1/4})^2 = 2^{-1/4 \times 2} = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Вторая часть выражения: \(\left(1.5 - \frac{2}{\sqrt{2}}\right)^{1/2}\)
Приведем к общему знаменателю или упростим:
\[ \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{2^{1/2}} = 2^{1} / 2^{1/2} = 2^{1 - 1/2} = 2^{1/2} = \sqrt{2} \]
Теперь:
\[ 1.5 - \sqrt{2} \]
- \(1.5 = \frac{3}{2}\)
Итак, выражение под корнем:
\[ \left( \frac{3}{2} - \sqrt{2} \right)^{1/2} \]
Теперь соберем все вместе:
\[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times \left( \frac{3}{2} - \sqrt{2} \right)^{1/2} \]
Итоговое выражение:
\[ \boxed{ \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{\frac{3}{2} - \sqrt{2}} } \]
Можно оставить так, так как это — финальное упрощение.
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{\frac{3}{2} - \sqrt{2}} } \]
или в виде одного корня:
\[ \boxed{ \frac{\sqrt{\frac{3}{2} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2}} } \]
Если нужно, можно оставить именно так — это максимально упрощенное выражение.
Если есть вопросы или нужно более компактное представление, скажите!
