Дано: Прямоугольный треугольникABC с прямым углом C (∠C = 90°). Катет AC = 6 см. Катет BC = 8 см. В треугольник вписана окружность, которая касается катетов AC и BC в точках M и N соответственно. Найти: 1. Длину гипотенузы AB. 2. Радиус вписанной окружности r. 3. Длину отрезка MN. Дополнительно (для размышления): · Как связаны отрезки MN и радиус r? Можно ли найти MN, зная только r? · Чему равна площадь треугольника ABC? Как площадь связана с радиусом вписанной окружности и периметром?

Давайте подробно разберем каждую задачу. --- ### 1. Найти длину гипотенузы AB **Дано:** - Треугольник ABC прямой, с ∠C = 90° - Катеты: AC = 6 см, BC = 8 см **Шаг 1. Найти гипотенузу AB (по теореме Пифагора):** \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \] **Ответ:** \( AB = 10 \) см. --- ### 2. Найти радиус вписанной окружности r **Шаг 1. Найти площадь треугольника \( S \).** Для прямоугольного треугольника площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ см}^2 \] **Шаг 2. Найти периметр треугольника \( P \).** \[ P = AC + BC + AB = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см} \] **Шаг 3. Формула радиуса вписанной окружности:** Радиус \( r \) выражается через площадь и полупериметр \( p = \frac{P}{2} \): \[ r = \frac{S}{p} \] Посчитаем \( p \): \[ p = \frac{24}{2} = 12 \text{ см} \] Теперь радиус \( r \): \[ r = \frac{24}{12} = 2 \text{ см} \] **Ответ:** \( r = 2 \) см. --- ### 3. Найти длину отрезка MN **Дано:** - М и N — точки касания вписанной окружности с катетами AC и BC соответственно - Радиус окружности \( r = 2 \) см - Катеты: AC = 6 см, BC = 8 см **Шаг 1. Определим координаты точек:** Можно выбрать систему координат так, чтобы: - точка C в начале, - AC по оси X, - BC по оси Y. Тогда: - \( C = (0, 0) \) - \( A = (6, 0) \) - \( B = (0, 8) \) **Шаг 2. Найдем координаты точек касания M и N.** - Точка касания \( M \) — это точка касания окружности с катетом \( AC \). - Точка касания \( N \) — с катетом \( BC \). Поскольку окружность внутри треугольника и касается катетов, её центр лежит внутри треугольника, а расстояние от центра до каждого катета равно радиусу \( r = 2 \). **Шаг 3. Найти координаты центра вписанной окружности \( O \).** Для прямоугольного треугольника центр окружности находится внутри треугольника и для катетов: - расстояние от \( O \) до катета \( AC \): так как \( AC — \) это ось X, а касательная к \( AC \) — вертикальный отрезок, то: \[ x_O = r = 2 \] - расстояние от \( O \) до катета \( BC \): так как \( BC \) — это ось Y, и касательная — горизонтальный отрезок: \[ y_O = r = 2 \] Проверка: точки касания на катетах находятся на расстоянии \( r \) от центра: - точка касания \( M \) на \( AC \) — это точка на \( AC \), где \( y = 0 \)^ (так как \( AC \) лежит на оси X). Расстояние от \( O(2,2) \) до \( AC \): \[ |y_O - 0| = 2 = r \] - точки касания \( N \) на \( BC \): Координаты \( B(0,8) \) и \( C(0,0) \). Катет \( BC \) — это ось Y, касание происходит по горизонтали. Центр окружности \( O(2,2) \) — на расстоянии \( 2 \) от \( BC \). Поскольку \( BC \) соответствует оси Y (x=0), точка касания на нем — это точка с x-координатой \( 0 + r = 0 + 2 \). Однако, поскольку радиус — это перпендикулярное расстояние, центр окружности отсчитывает \( r \) от обеих сторон. Можно сказать, что: - точка касания \( N \) находится на высоте \( y_N = 8 - r = 6 \). Но в этом случае для квадратичного определения нам проще рассчитать координаты центра окружности. **Шаг 4. Можно ли напрямую найти MN?** Из разметки: - \( M \) — точка касания на \( AC \), с координатами \( (6, r) \). - \( N \) — точка касания на \( BC \), с координатами \( (r, 8) \). Пояснения: - \( M \) — на катете \( AC \) (ось X), касание происходит на высоте \( y = r = 2 \). Тогда \( M = (6, 2) \). - \( N \) — на катете \( BC \) (ось Y), касание происходит на расстоянии \( r \) от \( y=0 \), то есть на \( y = 8 - r = 6 \), а по x — это \( x = 2 \). Но, учитывая симметрию и стандартные формулы, точка касания (М и N) на катетах: \[ M = (6, 2) \] \[ N = (2, 8) \] **Шаг 5. Найти длину MN:** \[ MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(2 - 6)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7{,}21 \text{ см} \] --- ## Итоговые ответы: 1. **Длина гипотенузы AB:** **10 см** 2. **Радиус вписанной окружности r:** **2 см** 3. **Длина отрезка MN:** примерно **7,21 см** --- ## Дополнительные размышления: - **Связь MN и радиуса r:** Отрезок MN — это расстояние между точками касания окружности с катетами. Оно зависит от положения центра окружности и радиуса. В случае прямого угла треугольника и равных радиусов точек касания — MN можно найти по формуле расстояния между точками касания, как выше. - **Площадь треугольника и её связь с радиусом и периметром:** В прямоугольном треугольнике \( S = \frac{abc}{4R} \), где \( R \) — радиус описанной окружности, но нам важнее соотношение внутри окружности: \[ r = \frac{S}{p} \] Этот фактор показывает, что площадь связана с периметром и радиусом вписанной окружности. --- Если потребуется дополнительно, могу помочь с более детальными объяснениями!