У Яны есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 240 см, а после каждого следующего отскока…

Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, после какого по счёту отскока высота станет меньше 5 см.

Дано:

• Первая высота после первого отскока: 240 см.
• После каждого следующего отскока высота уменьшается в два раза.
• Нужно найти номер отскока, когда высота станет меньше 5 см.

Решение:

1. Обозначения:

Пусть \( h_n \) — высота после \( n \)-го отскока.

Тогда: \[ h_1 = 240 \text{ см} \] и для каждого следующего: \[ h_{n} = \frac{h_{n-1}}{2} \] или, что то же самое: \[ h_n = 240 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]

2. Нам нужно найти \( n \), при котором: \[ h_n < 5 \text{ см} \]

Подставим выражение для \( h_n \): \[ 240 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 5 \]

3. Решим неравенство:

Делим обе части на 240: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{5}{240} = \frac{1}{48} \]

4. Теперь ищем \( n \), при котором: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{1}{48} \]

Обратное выражение — это степень двойки: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2^{-(n-1)} \]

Значит, нужно решить: \[ 2^{-(n-1)} < \frac{1}{48} \]

или \[ 2^{n-1} > 48 \]

5. Найдем \( n \), при котором: \[ 2^{n-1} > 48 \]

Рассчитаем степени двойки:

• \( 2^5 = 32 \)
• \( 2^6 = 64 \)

Так как \( 64 > 48 \), а \( 32 < 48 \), то: \[ n - 1 \geq 6 \] или \[ n \geq 7 \]

6. Проверка:

Для \( n = 6 \): \[ h_6 = 240 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1} = 240 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 240 \times \frac{1}{32} = 7,5 \text{ см} \] Это больше 5 см.

Для \( n = 7 \): \[ h_7 = 240 \times \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 240 \times \frac{1}{64} = 3,75 \text{ см} \] Это меньше 5 см.

Ответ:

После 7-го отскока высота попрыгунчика станет меньше 5 см.