Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, после какого по счёту отскока высота станет меньше 5 см.
Дано:
- Первая высота после первого отскока: 240 см.
- После каждого следующего отскока высота уменьшается в два раза.
- Нужно найти номер отскока, когда высота станет меньше 5 см.
Решение:
- Обозначения:
Пусть ( h_n ) — высота после ( n )-го отскока.
Тогда:
[
h_1 = 240 \text{ см}
]
и для каждого следующего:
[
h_{n} = \frac{h_{n-1}}{2}
]
или, что то же самое:
[
h_n = 240 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
]
- Нам нужно найти ( n ), при котором:
[
h_n < 5 \text{ см}
]
Подставим выражение для ( h_n ):
[
240 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 5
]
- Решим неравенство:
Делим обе части на 240:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{5}{240} = \frac{1}{48}
]
- Теперь ищем ( n ), при котором:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{1}{48}
]
Обратное выражение — это степень двойки:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2^{-(n-1)}
]
Значит, нужно решить:
[
2^{-(n-1)} < \frac{1}{48}
]
или
[
2^{n-1} > 48
]
- Найдем ( n ), при котором:
[
2^{n-1} > 48
]
Рассчитаем степени двойки:
- ( 2^5 = 32 )
- ( 2^6 = 64 )
Так как ( 64 > 48 ), а ( 32 < 48 ), то:
[
n - 1 \geq 6
]
или
[
n \geq 7
]
- Проверка:
Для ( n = 6 ):
[
h_6 = 240 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1} = 240 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 240 \times \frac{1}{32} = 7,5 \text{ см}
]
Это больше 5 см.
Для ( n = 7 ):
[
h_7 = 240 \times \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 240 \times \frac{1}{64} = 3,75 \text{ см}
]
Это меньше 5 см.
Ответ:
После 7-го отскока высота попрыгунчика станет меньше 5 см.
