2sinx×sin2x=2cosx+cos2x

Давайте решим уравнение:
\[ 2 \sin x \times \sin 2x = 2 \cos x + \cos 2x \]

Шаг 1: Используем триггерные формулы

Для удобства выразим все двойные аргументы через одинарные функции.

Известные формулы: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] \[ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \]

Шаг 2: Подставим формулы в исходное уравнение

Запишем левую часть: \[ 2 \sin x \times \sin 2x = 2 \sin x \times (2 \sin x \cos x) = 4 \sin^2 x \cos x \]

Правая часть: \[ 2 \cos x + \cos 2x = 2 \cos x + (2 \cos^2 x - 1) = 2 \cos x + 2 \cos^2 x - 1 \]

Теперь уравнение принимает вид: \[ 4 \sin^2 x \cos x = 2 \cos x + 2 \cos^2 x - 1 \]

Шаг 3: Выразим все через \(\cos x\)

Обозначим \(\cos x = t\), тогда доберёмся до уравнения с одной переменной.

Для этого заменим \(\sin^2 x\) выражением: \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - t^2 \]

Подставляем: \[ 4 (1 - t^2) t = 2 t + 2 t^2 - 1 \]

Раскроем скобки: \[ 4 t - 4 t^3 = 2 t + 2 t^2 - 1 \]

Шаг 4: Перенесем все на левую сторону

\[ 4 t - 4 t^3 - 2 t - 2 t^2 + 1 = 0 \]

Упростим: \[ (4 t - 2 t) - 4 t^3 - 2 t^2 + 1 = 0 \] \[ 2 t - 4 t^3 - 2 t^2 + 1 = 0 \]

Это кубическое уравнение: \[ -4 t^3 - 2 t^2 + 2 t + 1 = 0 \]

или умножим на -1 для удобства: \[ 4 t^3 + 2 t^2 - 2 t - 1 = 0 \]

Шаг 5: Решение кубического уравнения

Попробуем найти рациональный корень по критерию рациональности: делители свободного члена \(\pm 1\), делители ведущего коэффициента 4.

Пробуем \( t = \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4} \).

Проверим \( t = \frac{1}{2} \): \[ 4 \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \left(\frac{1}{2}\right) - 1 \] \[ = 4 \times \frac{1}{8} + 2 \times \frac{1}{4} - 1 - 1 \] \[ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 - 1 = 1 - 2 = -1 \neq 0 \]

Проверим \( t= -\frac{1}{2} \): \[ 4 \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 2 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \left(-\frac{1}{2}\right) -1 \] \[ = 4 \times -\frac{1}{8} + 2 \times \frac{1}{4} + 1 - 1 \] \[ = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 - 1= 0 \]

Отлично! \( t = -\frac{1}{2} \) — корень уравнения.

Шаг 6: Делением кубического

Теперь найдём остальные корни. Используем деление многочлена на \((t + \frac{1}{2})\).

Общий многочлен: \[ 4 t^3 + 2 t^2 - 2 t - 1 \]

Разделим его на \(\left(t + \frac{1}{2}\right)\), применяя схему деления или полином-деление.

Перепишем многочлен в виде:

\[ 4 t^3 + 2 t^2 - 2 t - 1 \]

Явный делитель: \( t + \frac{1}{2} \).

Многочлен делим (продукт содержит квадратный трехчлен):

Рассчитаем деление:

• Первый член: \(4 t^3 \div t = 4 t^2 \), умножаем \( (t + 1/2) \times 4 t^2 = 4 t^3 + 2 t^2 \), вычитаем.

Остается:

\[ (4 t^3 + 2 t^2) - (4 t^3 + 2 t^2) = 0 \]

• Дальше, мы вычли все при уровне первых двух членов, остался \(-2t - 1\).

Больше деления не продолжается, потому что \( t + 1/2 \) — делитель, и после деления, получаем остаток.

Но для корректности сделаем замену: умножим многочлен на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 8 t^3 + 4 t^2 - 4 t - 2 \]

Обнаружим, что \( t = -1/2 \) — корень.

Разделим многочлен обратно на \((t + 1/2)\):

Используем схему деления или синтетическое деление:

• Корень: \( t = -\frac{1}{2} \),
• Многочлен: \(4 t^3 + 2 t^2 - 2 t - 1\).

Обратимся к делению:

1. Коэффициенты: 4, 2, -2, -1
2. Используем синтетическое деление с делителем \(-1/2\):

Делим по схеме:

• Начинаем: 4
• Умножаем на \(-1/2\): \(4 \times -1/2 = -2\), прибавляем к следующему коэффициенту: \(2 + (-2) = 0\).
• Далее: 0, умножаем на \(-1/2\): \(0 \times -1/2= 0\), прибавляем к следующему: \(-2 + 0= -2\).
• Следующий: \(-2\), умножим: \(-2 \times -1/2=1\), прибавляем: \(-1 + 1=0\).

Результат — это коэффициенты: 4, 0, -2, остаток: 0.

Значит, многочлен делится на \((t + 1/2)\), а оставшийся многочлен — квадратичный:

\[ 4 t^2 - 2 \]

Итак: \[ 4 t^3 + 2 t^2 - 2 t - 1 = (t + 1/2)(4 t^2 - 2) \]

Рассмотрим уравнение: \[ 4 t^2 - 2 = 0 \Rightarrow 4 t^2 = 2 \Rightarrow t^2 = \frac{1}{2} \] \[ t = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Итоговые решения уравнения:

\[ t = \cos x = -\frac{1}{2}, \quad \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Шаг 7: Находим \(x\)

1. \(\cos x = -\frac{1}{2}\)

\[ x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

3. \(\cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\[ x = \pm \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

---

Итоговое решение:

Ответ:
\[ x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n,\quad \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n,\quad \pm \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]