В кинотеатре, в целях соблюдения дистанции, в каждом ряду разрешили садиться на все места через одно. Остальные места демонтировали. Через неделю опять разрешили садиться на все…

Давайте подробно разберём задачу.

Что известно:

• Изначально в ряду есть \( N \) мест.
• В первый раз, чтобы соблюдать дистанцию, разрешили садиться через одно место, остальные демонтировали.
• Через неделю снова разрешили садиться через одно место на уже оставшихся.
• Ещё через неделю — тоже самое.

В итоге количество оставшихся мест в ряду стало в 7 раз меньше, чем было изначально.

---

Шаг 1: Анализ условий

Обозначим:

• \( N \) — изначальное количество мест.
• После первой процедуры осталось \( N_1 \) мест.
• После второй — \( N_2 \) мест.
• После третьей — \( N_3 \) мест.

По условию, что всего осталось:

\[ N_3 = \frac{N}{7} \]

---

Шаг 2: Определение, как меняется число мест при каждой операции

При каждом шаге:

• Остались только те места, на которые можно сесть через одно (все остальные демонтированы).
• Изначально рассчитываем, сколько осталось после каждого шага.

Пояснение: Если изначально есть \( N \) мест, то, выбирая через одно место, остаются те места, которые идут с шагом через один.

Например:

• Начинаем с мест \( 1, 2, 3, ..., N \)
• После выбора через одно место остаются только 1, 3, 5,..., то есть все места с нечётными номерами.

Это важно: после первого шага число оставшихся мест равно количеству нечётных номеров среди 1 до \( N \).

---

Шаг 3: Вычисляем числа остатков после каждого этапа

Первый этап:

• Осталось \( N_1 \) мест.
• Все места — нечётные номера: \( 1, 3, 5, ... \)

Количество нечётных чисел от 1 до \( N \):

\[ N_1 = \left\lceil \frac{N}{2} \right\rceil \]

или, точнее, количество нечётных чисел:

\[ N_1 = \left\lfloor \frac{N+1}{2} \right\rfloor \]

(так как нечётных чисел в диапазоне 1 до \( N \) ровно столько, сколько целых чисел \( \leq \frac{N+1}{2} \)).

Но так как в задаче важно рассматривать последовательность, лучше оставить в виде:

\[ N_1 = \left\lfloor \frac{N+1}{2} \right\rfloor \]

---

Второй этап:

• Теперь после второго разрешения остаются те места, которые по новой скажем, через одно место среди уже оставшихся.

Последовательность по шагам:

• После первого: осталось \( N_1 = \left\lfloor \frac{N+1}{2} \right\rfloor \).
• После второго: количество оставшихся мест — это нечётные номера среди \( N_1 \):

\[ N_2 = \left\lfloor \frac{N_1 + 1}{2} \right\rfloor \]

• Аналогично для третьего этапа:

\[ N_3 = \left\lfloor \frac{N_2 + 1}{2} \right\rfloor \]

---

Шаг 4: Записываем итоговые уравнения

Всего после третьего этапа:

\[ N_3 = \left\lfloor \frac{N_2 + 1}{2} \right\rfloor \]

указывается, что:

\[ N_3 = \frac{N}{7} \]

При этом выражения для \( N_2 \) и \( N_1 \):

\[ N_2 = \left\lfloor \frac{N_1 + 1}{2} \right\rfloor \]

\[ N_1 = \left\lfloor \frac{N + 1}{2} \right\rfloor \]

---

Шаг 5: Решение через предположения о целых числах

Поскольку \( N_3 \) — целое число, попробуем по возможным вариантам.

Наиболее удобный подход — проверить целые числа \( N \), исходя из соотношения:

\[ N_3 = \frac{N}{7} \]

---

Шаг 6: Итоговые вычисления

Попробуем найти \( N \), удовлетворяющее:

\[ N_3 = \left\lfloor \frac{N_2 + 1}{2} \right\rfloor = \frac{N}{7} \]

И также:

\[ N_2 = \left\lfloor \frac{N_1 + 1}{2} \right\rfloor, \quad N_1 = \left\lfloor \frac{N + 1}{2} \right\rfloor \]

Обозначим:

\[ N_1 \approx \frac{N + 1}{2} \] \[ N_2 \approx \frac{N_1 + 1}{2} \] \[ N_3 \approx \frac{N_2 + 1}{2} \]

и при этом \( N_3 = \frac{N}{7} \).

Проверим пример:

Пусть \( N \) — кратно 7. Пусть \( N = 7k \).

Тогда:

\[ N_3 = k \]

Исходя из опыта, при больших \( N \), округления несущественны, и можем упростить:

\[ N_1 \approx \frac{N + 1}{2} \] \[ N_2 \approx \frac{N_1 + 1}{2} \approx \frac{\frac{N + 1}{2} + 1}{2} = \frac{\frac{N + 1 + 2}{2}}{2} = \frac{N + 3}{4} \] \[ N_3 \approx \frac{N_2 + 1}{2} \approx \frac{\frac{N + 3}{4} + 1}{2} = \frac{\frac{N + 3 + 4}{4}}{2} = \frac{N + 7}{8} \]

В условии:

\[ N_3 = \frac{N}{7} \]

Подставляем:

\[ \frac{N + 7}{8} \approx \frac{N}{7} \]

Перепишем:

\[ 7(N + 7) \approx 8N \] \[ 7N + 49 \approx 8N \] \[ 49 \approx N \]

Значит, примерно \( N = 49 \).

Проверим:

• \( N = 49 \)
• Тогда \( N/7 = 7 \)

Посчитаем точно:

• \( N_1 = \left\lfloor \frac{49 + 1}{2} \right\rfloor = \lfloor 25 \rfloor = 25 \)
• \( N_2 = \left\lfloor \frac{25 + 1}{2} \right\rfloor = \lfloor 13 \rceil \rfloor = 13 \)
• \( N_3 = \left\lfloor \frac{13 + 1}{2} \right\rfloor = \lfloor 7 \rfloor = 7 \)

Изначально — 49 мест.

В итоге в 7 раз меньше:

\[ \frac{49}{7} = 7 \]

совпадает с нашим расчетом.

---

Ответ:

В ряду было изначально 49 мест.