В угол С величиной 107° вписана окружность ,которая касается сторон угла в точка А и В , точка О центр окружности. Найти угол АОВ. Ответ дайте в градусах

Давайте более подробно разберём задачу. У нас есть угол C величиной 107°, внутри которого вписана окружность (описанная внутри угла). Окружность касается сторон угла в точках A и B, а точка O — центр этой окружности. Требуется найти угол AOB.

Важные моменты задачи:

• Внутри угла C проведена вписанная окружность, касающаяся его сторон в точках A и B.
• Окружность касается сторон угла, значит, A и B — точки касания.
• Центр окружности — точка O.
• Нужно найти угол AOB.

Шаг 1. Понимание конфигурации

Вписанная окружность внутри угла касается обеих сторон. Это классическая ситуация — вокруг внутреннего угла можно описать радиальную окружность, которая касается обеих сторон.

Обратим внимание на свойства:

• Точки касания A и B лежат на сторонах угла C.
• Центр окружности O находится внутри угла C.
• Радиусы, проведённые от центра окружности O к точкам касания A и B, перпендикулярны сторонам, к которым они прилегают.

Шаг 2. Свойства касательных точек

Поскольку окружность касается сторон в точках А и В, то от центра O к этим точкам проводят радиусы OА и OB, которые перпендикулярны сторонам, то есть:

• OA ⟂ сторона CA,
• OB ⟂ сторона CB.

Это значит, что точки A и B — это точки касания окружности с двумя сторонами угла.

Шаг 3. Анализ углов

Для этой задачи важное свойство:
Вписанная окружность внутри угла создает так называемый "инскрипт-круг", и в этом случае радиуса центра O и стороны угла связаны по определенным соотношениям.

Шаг 4. Важное геометрическое свойство

Из условия и свойств касательных и радиусов видно, что:

• От центра O проводятся радиусы к точкам касания, они перпендикулярны сторонам.
• Угол между радиусами OА и ОВ равен углу между линиями, соединяющими O с A и B.

Так как A и B — точки касаний, а O — центр, то угол AOB — это угол между радиусами, проведенными к точкам касания.

Но что такое угол AOB в данном положении?

Поскольку центр расположен внутри угла C, и касается обеих сторон, то радиусы OА и OB образуют угол, равный половине угла C.

Шаг 5. Итоговое решение

• Внутри угла C, если проведена окружность, касающаяся обеих сторон, то угол между радиусами, соединяющими O с точками касания, равен половине угла C.

Значит:

\[ \angle AOB = \frac{1}{2} \times \angle C \]

Подставляем значение \(\angle C = 107^\circ\):

\[ \angle AOB = \frac{107^\circ}{2} = 53.5^\circ \]

Ответ:

\(\boxed{53.5^\circ}\)

Если нужно округлить, то можно оставить как есть, или — в соответствии с требованиями — ответ: 53.5°.