В угол С величиной 107° вписана окружность ,которая касается сторон угла в точка А и В , точка О центр окружности. Найти угол АОВ. Ответ дайте в градусах

Давайте более подробно разберём задачу. У нас есть угол C величиной 107°, внутри которого вписана окружность (описанная внутри угла). Окружность касается сторон угла в точках A и B, а точка O — центр этой окружности. Требуется найти угол AOB. ### Важные моменты задачи: - Внутри угла C проведена вписанная окружность, касающаяся его сторон в точках A и B. - Окружность касается сторон угла, значит, A и B — точки касания. - Центр окружности — точка O. - Нужно найти угол AOB. --- ### Шаг 1. Понимание конфигурации Вписанная окружность внутри угла касается обеих сторон. Это классическая ситуация — вокруг внутреннего угла можно описать радиальную окружность, которая касается обеих сторон. Обратим внимание на свойства: - Точки касания A и B лежат на сторонах угла C. - Центр окружности O находится внутри угла C. - Радиусы, проведённые от центра окружности O к точкам касания A и B, перпендикулярны сторонам, к которым они прилегают. ### Шаг 2. Свойства касательных точек Поскольку окружность касается сторон в точках А и В, то от центра O к этим точкам проводят радиусы OА и OB, которые перпендикулярны сторонам, то есть: - OA ⟂ сторона CA, - OB ⟂ сторона CB. Это значит, что точки A и B — это точки касания окружности с двумя сторонами угла. --- ### Шаг 3. Анализ углов Для этой задачи важное свойство: Вписанная окружность внутри угла создает так называемый **"инскрипт-круг"**, и в этом случае радиуса центра O и стороны угла связаны по определенным соотношениям. --- ### Шаг 4. Важное геометрическое свойство Из условия и свойств касательных и радиусов видно, что: - От центра O проводятся радиусы к точкам касания, они перпендикулярны сторонам. - Угол между радиусами OА и ОВ равен углу между линиями, соединяющими O с A и B. Так как A и B — точки касаний, а O — центр, то угол AOB — это угол между радиусами, проведенными к точкам касания. Но что такое угол AOB в данном положении? Поскольку центр расположен внутри угла C, и касается обеих сторон, то радиусы OА и OB образуют угол, равный половине угла C. --- ### Шаг 5. Итоговое решение - Внутри угла C, если проведена окружность, касающаяся обеих сторон, то угол между радиусами, соединяющими O с точками касания, равен половине угла C. **Значит:** \[ \angle AOB = \frac{1}{2} \times \angle C \] Подставляем значение \(\angle C = 107^\circ\): \[ \angle AOB = \frac{107^\circ}{2} = 53.5^\circ \] --- ### **Ответ:** **\(\boxed{53.5^\circ}\)** Если нужно округлить, то можно оставить как есть, или — в соответствии с требованиями — ответ: **53.5°**.