Давайте решать задачу по шагам, чтобы найти площадь равнобедренного треугольника с данными условиями.
Дано:
- Периметр треугольника ( P = 32 )
- Основание ( BC = 12 )
Найти: площадь треугольника ( S )
Шаг 1: Обозначения и формулы
Обозначим:
- основание ( BC = 12 )
- боковые стороны ( AB = AC = x ) (так как треугольник равнобедренный)
Формулы:
- Периметр: ( 2x + BC = P )
- Площадь: ( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} )
Шаг 2: Найти боковые стороны ( x )
Из условия периметра:
[
2x + 12 = 32
]
[
2x = 20
]
[
x = 10
]
То есть боковые стороны треугольника равны 10.
Шаг 3: Найти высоту ( h )
Высота чтобы опустилась из вершины ( A ) на основание ( BC ), делит его пополам, так как треугольник равнобедренный:
[
BD = DC = \frac{12}{2} = 6
]
Обозначим высоту через ( h ). В треугольнике ( ABD ):
- катеты: ( AD = h ), ( BD = 6 )
- гипотенуза ( AB = 10 )
Используем теорему Пифагора:
[
AB^2 = AD^2 + BD^2
]
[
10^2 = h^2 + 6^2
]
[
100 = h^2 + 36
]
[
h^2 = 64
]
[
h = \sqrt{64} = 8
]
Шаг 4: Найти площадь треугольника
Площадь:
[
S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
]
[
S = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 6 \times 8 = 48
]
Ответ:
Площадь равнобедренного треугольника равна 48 квадратных единиц.
