. Найдите значение выражения: (402 + 396)2 – 4 402 396.
Рассмотрим данное выражение:
\[(402 + 396) \times 2 - 4 \times 402 \times 396\]
Цель — понять, как правильно упростить это выражение и найти его значение.
Шаг 1: Внимательный разбор выражения
Обратите внимание, что в выражении есть сумма и произведения:
- сумма \(402 + 396\)
- произведения \(402 \times 396\)
И также есть множитель 2 и множитель 4.
Шаг 2: Обозначим сумму и произведение
Обозначим:
\[a = 402\]
\[b = 396\]
Тогда выражение станет:
\[(a + b) \times 2 - 4 \times a \times b\]
Шаг 3: Раскроем скобки
Запишем:
\[2(a + b) - 4ab\]
Шаг 4: Распределим множители
\[2a + 2b - 4ab\]
Образовалась сумма:
\[2a + 2b - 4ab\]
Шаг 5: Попробуем представить выражение через разность \(a - b\)
Обратим внимание, что \(a = 402\), а \(b = 396\), то есть разность:
\[a - b = 6\]
Также, заметим, что сумма:
\[a + b = 402 + 396 = 798\]
Шаг 6: Выразим произведение \(ab\)
Посчитаем:
\[ab = 402 \times 396\]
Используем разностное произведение, так как разница известна:
\[(a - b)(a + b) = a^2 - b^2\]
Отсюда:
\[ab = \frac{(a - b)(a + b)}{1}\]
Нет, точнее — это формула для разности квадратов, она говорит о:
\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\]
Но нам нужно само произведение \(ab\), а не его разность с квадратами.
Шаг 7: Перепишем исходное выражение
Теперь попробуем использовать формулу алгебраической суммы или произведения.
Посмотрим внимательнее на исходное выражение:
\[ (a + b) \times 2 - 4ab \]
Это можно переписать как:
\[2(a + b) - 4ab\]
или в виде:
\[2(a + b - 2ab)\]
Но так как перемножение — это сумма или разность, попробуем на примере реальных чисел.
Шаг 8: Подставим конкретные значения
Вернемся к исходным числам:
\[a = 402\]
\[b = 396\]
получим:
\[2 \times (402 + 396) - 4 \times 402 \times 396\]
Посчитаем шаг за шагом:
- \(402 + 396 = 798\),
- \(2 \times 798 = 1596\),
- \(402 \times 396\) — посчитаем отдельно.
Шаг 9: Найти \(402 \times 396\)
Для быстрого вычисления произведения используем формулу разности квадратов:
\[ a \times b = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4} \]
Или можно посчитать просто:
\[ 402 \times 396 \]
используя разложение:
402 = 400 + 2
396 = 400 - 4
Тогда:
\[ 402 \times 396 = (400 + 2)(400 - 4) \]
Применим формулу разности произведений:
\[ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \]
здесь \(x = 400\), \(y = 4\):
\[ = 400^2 - 4^2 = 160000 - 16 = 159984 \]
Шаг 10: Подставим значения обратно
Теперь возвращаемся к выражению:
\[ 1596 - 4 \times 159984 \]
Вычислим \(4 \times 159984\):
\[ 4 \times 159984 = 4 \times (160000 - 16) = 4 \times 160000 - 4 \times 16 = 640000 - 64 = 639936 \]
Итак, выражение равно:
\[ 1596 - 639936 \]
Шаг 11: Итоговое вычисление
\[ 1596 - 639936 = -638340 \]
Ответ:
Значение выражения равно \(-638340\).
