На вход алгоритма подается натуральное число М. Алгоритм строит по нему новое число В следующим образом. 1) Строится двоичная запись числа №. 2) К этой записи дописываются справа…

Давайте разберём задачу поэтапно и найдём минимальное число R, большее 102, которое может быть результатом данного алгоритма.

Шаг 1: Понимание алгоритма

На вход подаётся натуральное число M. Алгоритм выполняет следующие действия:

1. Записывает число M в двоичной системе.

2. В конец этой двоичной записи дописываются два разряда, согласно правилу:

   • Если число M чётное — дописываем сначала 0, затем 1.
   • Если число M нечётное — дописываем сначала 1, затем 0.

Новая двоичная запись — это число R в двоичной системе, а R — результат работы алгоритма.

Связь между M и R:

Обозначим:

• \( N = \) двоичная запись числа M.
• \( |N| = L \) — длина двоичной записи M.
• \( R \) — итоговая запись, длиной \( L + 2 \).

Правила дописывания:

• Если M чётное (\( M \equiv 0 \pmod{2} \)), то к \( N \) дописываются "0" и "1".
• Если M нечётное (\( M \equiv 1 \pmod{2} \)), то к \( N \) дописываются "1" и "0".

Посмотрим на пример:

• Пример 1: \( M = 4 \), двоичная: "100" (чётное) — дописываем "0" и "1" → "10001"

• Пример 2: \( M = 7 \), двоичная: "111" (нечётное) — дописываем "1" и "0" → "11110"

Шаг 2: Связь между M и R

Данная двоичная запись "N" дополняется двумя битами в конец. Тогда новый двоичный номер \( R \):

\[ R = N \times 4 + \text{(две дополнительные биты)} \]

где \( N \) — двоичное число M, а дополнительные биты зависят от чётности M:

• если M чётное, то добавляем "0" и "1" — это двоичный разряд "01" в конце.
• если M нечётное, добавляем "1" и "0" — это "10" в конце.

Обозначим:

Пусть \( N \) — двоичное число M.

Тогда \( R \):

• для чётных M:

\[ R = N \times 4 + 1 \] (так как добавление "0" и "1" в конце двоичной записи — это прибавление 1 к \( N \times 4 \)).

• для нечётных M:

\[ R = N \times 4 + 2 \] (так как "1" и "0" — это двоичный 10, что равно 2 в десятичной системе).

Поясним:

Поскольку \( N \) — двоичный вид M, то:

\[ R = \begin{cases} 4N + 1, & \text{если M чётное} \\ 4N + 2, & \text{если M нечётное} \end{cases} \]

Шаг 3: Поиск минимального R > 102

Нам нужно найти минимальное \( R > 102 \), которое может быть результатом этого алгоритма. То есть:

\[ R = 4N + \delta, \quad \delta \in \{1, 2\} \]

где \( N \) — двоичное представление M.

Рассмотрим оба варианта отдельно.

---

Вариант 1: \( R = 4N + 1 \) (М чётное)

Нам нужно:

\[ 4N + 1 > 102 \implies 4N > 101 \implies N > 25.25 \]

Поскольку \( N \) — двоичное число, \( N \) — неотрицательное целое число.

Минимальное целое число \( N \), строго большее 25.25, равно 26.

Обратим внимание: \( N \) — двоичное число, соответствующее M.

Пусть \( N \geq 26 \). Тогда:

\[ N = 26 \]

Проверим:

\[ R = 4 \times 26 + 1 = 104 + 1 = 105 \]

Это число. Оно больше 102, и соответствует случаю, когда M — чётное.

---

Вариант 2: \( R = 4N + 2 \) (М нечётное)

Рассмотрим:

\[ 4N + 2 > 102 \implies 4N > 100 \implies N > 25 \]

Минимальное \( N \), большее 25, — это 26.

Расчёт:

\[ R = 4 \times 26 + 2 = 104 + 2 = 106 \]

Это число тоже больше 102.

---

Итог:

Среди двух вариантов минимальные числа — это:

• из варианта с \( R = 4N + 1 \): \( R = 105 \)
• из варианта с \( R = 4N + 2 \): \( R = 106 \)

Меньшее из них — 105.

---

Проверка, можно ли получить R=105 из результата работы алгоритма:

• Для \( R=105 \):

\[ 105 = 4N + 1 \Rightarrow N = \frac{104}{4} = 26 \]

Это допустимое число \( N \). Нужно проверить, что:

1. \( N \) — двоичное число: 26 в двоичной системе — "11010".
2. \( M \) — число с двоичной записью "11010", которое чётное (так как последний бит 0).

Разобьём "11010": это двоичное число.

• \( M \) — чётное (последний бит 0).
• \( M \) = двоичное "11010" — в десятичной:

\[ 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 \]

Обратимся к исходному правилу. В двоичной записи M ("11010", т.е. 26, чётное):

• Дописываем "0" и "1" — "11010" + "0" + "1" = "1101001" = \( R \).

Проверка:

• "11010" — \( N = 26 \)
• Дописываем "0" и "1"
• Итоговая запись:

\[ N \times 4 + 1 = 26 \times 4 + 1 = 105 \]

да, точно.

---

Ответ:

Минимальное число R > 102, которому соответствует работа алгоритма, это \( \boxed{105} \).