Давайте разберем задачу по шагам.
Дано уравнение скорости тела:
[ V = 5 + 2t ]
где:
- ( V ) — скорость тела в момент времени ( t ) (например, м/с),
- ( t ) — время в секундах,
- начальное условие (скорость в момент ( t=0 ) — 5 м/с).
Задача: найти перемещение тела за третью секунду, то есть за промежуток времени с ( t=2 ) секунд по ( t=3 ) секунды.
Шаг 1: Определить, что требуется найти
Перемещение за определенный промежуток времени — это интеграл скорости по времени на этом интервале:
[
\Delta s = \int_{t_1}^{t_2} V(t) , dt
]
Где ( t_1=2 ) сек, ( t_2=3 ) сек.
Шаг 2: Записать выражение для перемещения
Подставим скорость ( V(t) = 5 + 2t ):
[
\Delta s = \int_{2}^{3} (5 + 2t) , dt
]
Шаг 3: Вычислить интеграл
Интегрируем по переменной ( t ):
[
\int (5 + 2t) , dt = 5t + t^2 + C
]
(постоянный член интегрирования ( C ) не нужен, потому что мы рассматриваем определенный интеграл).
Теперь вычислим определенный интеграл:
[
\Delta s = [5t + t^2]_{2}^{3}
]
Это означает, что нужно подставить верхний и нижний предел:
[
\Delta s = (5 \times 3 + 3^2) - (5 \times 2 + 2^2)
]
[
= (15 + 9) - (10 + 4)
]
[
= 24 - 14 = 10
]
Ответ:
Перемещение тела за третью секунду равно 10 единиц измерения перемещения (например, метров).
