В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведѐнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в…

Задача: в прямоугольном треугольнике угол между высотой, опущенной из вершины прямого угла, и биссектрисой из той же вершины равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника.

Обозначения и построение:

• Пусть треугольник ABC прямой угла в C. Угол A обозначим α, угол B — β. Тогда α + β = 90°, меньший угол треугольника — min(α, β).
• Опущена высота CH на гипотенузу AB и проведена биссектриса CD из вершины C. Угол между высотой CH и биссектрисой CD равен 14°.

Стратегия решения с координатами:

• Введём координаты: C = (0,0), CA направлена вдоль оси x к A = (a,0), CB направлена вдоль оси y к B = (0,b), где a>0, b>0.
• Линия AB имеет вид y = -(b/a)x + b. Следовательно, высота CH, перпендикулярная AB, имеет коэффициент наклона m_CH = a/b (поскольку m_AB = -b/a, их произведение равно -1). Через C она задаёт линию y = (a/b)x.
• Биссектриса из C для угла 90° образует угол 45° с осью x и осью y, поэтому она совпадает с линией y = x (коэффициент наклона m_CD = 1).

Угол между CH и CD:

• Для двух прямых через одну точку с угловыми коэффициентами m1 и m2 угол между ними удовлетворяет tan θ = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)|.
• Здесь m1 = a/b и m2 = 1. Тогда tan θ = |(1 − a/b) / (1 + a/b)| = |(b − a) / (a + b)|.

Пусть r = a/b > 0. Тогда tan 14° = |1 − r| / (1 + r). Решим это уравнение:

• Если r ≤ 1, то tan 14° = (1 − r) / (1 + r). Отсюда r = (1 − tan 14°) / (1 + tan 14°) = tan(45° − 14°) = tan 31°.
• Если r ≥ 1, то tan 14° = (r − 1) / (1 + r). Отсюда r = (1 + tan 14°) / (1 − tan 14°) = tan(45° + 14°) = tan 59°.

В обоих случаях отношение сторон треугольника удовлетворяет:

• либо a/b = tan 31°, тогда β = arctan(a/b) = 31°,
• либо a/b = tan 59°, тогда α = arctan(b/a) = arctan(1/(a/b)) = arctan(1/tan 59°) = arctan(tan 31°) = 31°.

Следовательно, меньший угол прямоугольного треугольника равен 31°.

Ответ: 31°.