"Решите уравнение logx-181=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них."

Привет! Давай разберёмся вместе.

Задание: решить уравнение log_{x-1} 81 = 2. Если корней несколько — взять меньший.

1. Понимание и ограничение домена

• Основание логарифма: b = x - 1.
• Требования к основанию логарифма: b > 0 и b ≠ 1.
• Значит: x - 1 > 0 → x > 1, и x - 1 ≠ 1 → x ≠ 2.
• Аргумент логарифма 81 > 0 уже выполняется.

2. Преобразование

• Из log_{x-1} 81 = 2 следует (x - 1)^2 = 81, потому что b^c = A при b > 0, b ≠ 1, A > 0.

3. Решение

• x - 1 = 9 → x = 10 (похожий вариант удовлетворяет условиям: x > 1, x ≠ 2).
• x - 1 = -9 → x = -8 (не подходит, потому что x > 1 — основание должно быть положительным).

4. Проверка

• Для x = 10: основание 9, логарифм log_9 81 = 2, верно.

Итак, корень единственный: x = 10.

Сравнение с твоим ответом (1):

• x = 1 не удовлетворяет условиям: основание равно x - 1 = 0, а основание логарифма должно быть положительным и не равным 1. Поэтому такой ответ неверен и не может быть решением уравнения.

Правильный ответ: 10.

Если хочешь, могу ещё привести краткий способ запомнить: чтобы из log_{x-1} 81 = 2 получить (x-1)^2 = 81 и затем учесть, что основание > 0 и ≠ 1, что и даёт единственный допустимый корень x = 10.

Пожалуйста, оцени мой ответ лайком или дизлайком.