2^n + 1 - простое число. Докажите, что n это степень двойки
Докажем, что если 2^n + 1 является простым числом, то n обязательно является степенью двойки (для положительных n).
Предположим противное: n не является степенью двойки. Тогда у n есть нечетный делитель d > 1, и можно записать n = m d для некоторого m ∈ N.
Рассмотрим число 2^n + 1 = (2^m)^d + 1. Так как d нечётно и d > 1, то по известной факторизации для степеней с нечетным показателем: x^d + 1 делится на x + 1. Применим это к x = 2^m. Получаем: 2^n + 1 = (2^m)^d + 1 = (2^m + 1) · [2^{m(d-1)} − 2^{m(d-2)} + ... − 2^m + 1].
Видно, что второй множитель не равен единице (так как d > 1), и 2^m + 1 > 1. Значит 2^n + 1 имеет ненуловый делитель помимо самого числа и, следовательно, является составным.
Противоречие: предположение о том, что n не является степенью двойки, приводит к тому, что 2^n + 1 не может быть простым. Следовательно, если 2^n + 1 простое, то n обязательно является степенью двойки.
Замечание:
- В случае n = 0 получаем 2^0 + 1 = 3, что арифметически тоже простое, но здесь n не является степенью двойки (0 не равен 2^k для любого k). Для задач чаще считают n > 0, и тогда утверждение корректно: n = 2^t (t ≥ 0).
Дополнительно:
- Это известный факт о простых числах вида 2^n + 1: такие числа называют Ферматами-числами в случае n = 2^t. Но само утверждение лишь даёт необходимое условие: n должно быть степенью двойки.
