sinx+sin7x-cos5x+cos(3x-2π)=0

Задача: sin x + sin 7x − cos 5x + cos(3x − 2π) = 0

1. Упростим выражения с периодичностью:

• cos(3x − 2π) = cos 3x (cos функция периодична с периодом 2π).
• sin x + sin 7x удобно превратить через формулу сложения синусов: sin x + sin 7x = 2 sin((x+7x)/2) cos((x−7x)/2) = 2 sin(4x) cos(−3x) = 2 sin(4x) cos(3x).
• −cos 5x + cos 3x = cos 3x − cos 5x можно преобразовать через формулу cos A − cos B = −2 sin((A+B)/2) sin((A−B)/2): cos 3x − cos 5x = −2 sin(4x) sin(x) = 2 sin(4x) (−sin x). Но удобнее заметить: cos 3x − cos 5x = 2 sin 4x sin x.

Итак, sin x + sin 7x − cos 5x + cos(3x − 2π) = 2 sin 4x cos 3x + (cos 3x − cos 5x) = 2 sin 4x cos 3x + 2 sin 4x sin x = 2 sin 4x (cos 3x + sin x).

Тогда уравнение эквивалентно 2 sin 4x (cos 3x + sin x) = 0.

2. Поэтому произведение нулево тогда, когда либо A) sin 4x = 0, либо B) cos 3x + sin x = 0.

Рассмотрим каждое:

A) sin 4x = 0 → 4x = kπ, значит x = kπ/4, где k ∈ Z.

B) cos 3x + sin x = 0.

• Преобразуем через замену sin x = cos(π/2 − x): cos 3x + cos(π/2 − x) = 0.
• Используем формулу суммы двух косинусов: cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2). Здесь α = 3x, β = π/2 − x. Тогда cos 3x + cos(π/2 − x) = 2 cos(x + π/4) cos(2x − π/4).
• Значит, либо
  1. cos(x + π/4) = 0 → x + π/4 = π/2 + kπ → x = π/4 + kπ, либо
  2. cos(2x − π/4) = 0 → 2x − π/4 = π/2 + kπ → 2x = 3π/4 + kπ → x = 3π/8 + kπ/2.

Итоговые решения:

• Из A): x = kπ/4, k ∈ Z.
• Из B):
  • x = π/4 + kπ (но это уже входит в первую ветку, так как π/4 + kπ = (1 + 4k)π/4);
  • x = 3π/8 + kπ/2, k ∈ Z.

Таким образом полный общий вид решений: x ∈ { kπ/4 : k ∈ Z } ∪ { 3π/8 + kπ/2 : k ∈ Z }.

Если нужно, можно привести примеры отдельных решений или ограничиться заданным интервалом (например, [0, 2π)) и перечислить конкретные значения.