Расположите линейку и фломастер так, как показано на рисунке. Постарайтесь двигать линейку так, чтобы фломастер катился по столу без сколь- жения. Сравните путь, пройденный фломастером, и путь, пройденный кон- цом линейки, обозначенным буквой А. Объясните полученный результат.

Кратко о задаче - Линейка катится без проскальзования по столу. Моментально точка контакта C между линейкой и столом сидит в покое. - Фломастер (точка на линейке) стоит на некотором фиксированном месте относительно линейки. Её расстояние до точки контакта C меняется по ходу движения. - Нужно сравнить длины путей: пройденного фломастером и пройденного концом линейки A (конец, помеченный буквой A). Пошаговое решение и объяснение 1) Моментальный центр вращения - В любой момент времени линейку можно рассматривать как вращающуюся вокруг точки контакта C: линейка вращается с угловой скоростью ω вокруг C. Это и есть условие «катится без скольжения» (скорость C нулевая в данный момент). 2) Скорости точек на линейке - Любая точка X линейки в этот момент имеет скорость v_X = ω · RX, где RX — расстояние от точки X до точки контакта C, и направление скорости перпендикулярно линии CX. - Соответственно, чем дальше точка X от C, тем больше её мгновенная скорость. 3) Что происходит с концом A и с фломастером? - Расположим на линейке точку M — местоположение фломастера. Пусть AM = d — расстояние от конца A до маркера M (фиксировано на линейке). Тогда в момент, когда контакт C совпадает с концом A (C = A), расстояние AM = d равно расстоянию фломастера от C, а скорость фломастера в этот момент v_M = ω · d > 0 (поскольку d ≠ 0 в обычной ситуации). - В тот же момент скорость конца A равна v_A = ω · 0 = 0, потому что расстояние CA = 0 (A сам является точкой контакта). - Значит, есть интервал времени, в который A не движется по столу, а фломастер продолжает двигаться. Именно такие моменты складываются в общую траекторию фломастера и закладывают больший путь по сравнению с путём конца A. 4) Интуитивное сравнение длин путей - Так как на протяженииRolling есть моменты, когда A неподвижен (C проходит через A), а фломастер находится на фиксированном расстоянии от C и имеет ненулевую скорость, траектория фломастера «накручивает» дополнительную длину. - Обобщение: для любой фиксированной позиции фломастера на линейке, кроме вероятно тривиального случая, когда он тоже всегда совпадает с C (что невозможно в ходе непрерывного ролирования), суммарная длина траектории фломастера за полный «приведённый» ход линейки по столу будет больше, чем длина траектории конца A. - В частности, если фломастер расположен где-то внутри линейки (не на C всюду и не на A), во многом каждом обороте будут интервалы, где v_A = 0, а v_M > 0, что увеличивает суммарную пройденную фломастером длину пути. 5) Что если разметить конкретно? - Если фломастер очень близок к A (d очень мал), разница небольшая, но всё равно в моменты, когда C = A, фломастеру всё равно придётся двигаться, а A — нет. - Если фломастер расположен ближе к другой противоположной концe или к середине линейки, разница ещё заметнее: в среднем скорость фломастера по пути окажется выше скорости A, и суммарный путь фломастера будет заметно длиннее. Итог - В большинстве случаев, когда фломастер не находится точно на месте контакта C постоянно и не совпадает с концом A, путь фломастера длиннее пути конца A. - Ключевые моменты: присутствуют интервалы, когда A покоится на столе (скорость нулевая), але фломастер продолжает двигаться; траектория и скорость фломастера зависят от расстояния от него до текущего мгновенного центра вращения. Если вы приложите рисунок - Я дам точное решение с параметрами: обозначу длину линейки L, расстояние AM = d, и покажу формулы для траекторий фломастера и конца A. По рисунку можно будет подсчитать конкретные длины путей за заданный участок движения. Побуждение к пониманию - Принцип: во время чистого катания линейки без проскальзывания скорость любой точки пропорциональна её расстоянию до мгновенного центра вращения; разные точки имеют разные скорости, и потому их траектории и длины путей различны. - Для закрепления можно попробовать эксперимент: положите линейку на стол, поместите маркер в середине линейки, начните катать вправо. Обратите внимание на моменты, когда кончик A касается стола и когда он отрывается — в эти моменты маркер уже движется, хотя A может быть неподвижен. Это и иллюстрирует почему путь маркера длиннее пути конца A. Если хотите, могу сделать точное решение под ваш конкретный рисунок — просто выслать изображение или параметры (L и положение фломастера).