2(5х-1)²+35х-11=0

Решение задачи: 2(5x − 1)² + 35x − 11 = 0

Поскольку цель — понять, разберём подробно по шагам.

Метод 1: substitution и факторизация (самый наглядный)

1. Введём замену t = 5x − 1. Тогда (5x − 1)² = t², а 35x − 11 запишем через t:

• 5x = t + 1 → x = (t + 1)/5.
• 35x − 11 = 35·((t+1)/5) − 11 = 7(t+1) − 11 = 7t − 4.

Таким образом исходное уравнение становится: 2t² + (7t − 4) = 0 → 2t² + 7t − 4 = 0.

2. Раскроем квадрат как квадратное trinomial и решим относительно t: 2t² + 7t − 4 = 0.

Факторизация: (2t − 1)(t + 4) = 0.

Отсюда t = 1/2 или t = −4.

3. Возвращаемся к x: t = 5x − 1.

• Если t = 1/2: 5x − 1 = 1/2 → 5x = 3/2 → x = 3/10.
• Если t = −4: 5x − 1 = −4 → 5x = −3 → x = −3/5.

Ответ: x = 3/10 или x = −3/5.

Метод 2 (быстрое проверочное расширение, если хочется увидеть стандартную форму)

1. Раскроем скобки и приведём к квадратному уравнению в x: 2(5x − 1)² + 35x − 11 = 2(25x² − 10x + 1) + 35x − 11 = 50x² − 20x + 2 + 35x − 11 = 50x² + 15x − 9 = 0.

2. Решим квадратное уравнение: a = 50, b = 15, c = −9. D = 15² − 4·50·(−9) = 225 + 1800 = 2025, √D = 45. x = [−15 ± 45] / (2·50) = [−15 ± 45] / 100.

• x1 = (−15 + 45)/100 = 30/100 = 3/10.
• x2 = (−15 − 45)/100 = −60/100 = −3/5.

Итог тот же: x = 3/10 или x = −3/5.