Тело падает без начальной скорости с высоты H = 100 м. За какое время тело проходит первый и последний метры своего пути? Какой путь проходит тело за первую секунду своего…

Разбираем задачу с использованием простых равнений движения при свободном падении без сопротивления воздуха.

Обозначения

• g ≈ 9.8 м/с^2 — ускорение свободного падения
• Пусть расстояние отвлекаем от стартовой высоты вниз. Тогда s(t) — пройденное тело расстояние за время t, при начальной скорости 0: s(t) = (1/2) g t^2
• Высота начала H = 100 м, до Ground (плоскости земли)

1. Время, за которое тело проходит первый метр

• Найдем t так, чтобы пройдено было s = 1: 1 = (1/2) g t^2
• t = sqrt(2/g)
• При g = 9.8 м/с^2: t1 ≈ sqrt(2/9.8) ≈ 0.452 с

2. Время, за которое тело проходит последний метр

• Время полного падения до земли: T = sqrt(2H/g) = sqrt(200/g)
• Время достижения 99-го метра: t99 = sqrt(2·99/g) = sqrt(198/g)
• Время достижения 100-го метра: t100 = sqrt(2·100/g) = sqrt(200/g) = T
• Время на последний метр: t_last = t100 − t99
• При g = 9.8:
  • t99 ≈ sqrt(198/9.8) ≈ sqrt(20.204) ≈ 4.50 с (точнее ≈ 4.495–4.50 с)
  • t100 ≈ sqrt(200/9.8) ≈ sqrt(20.408) ≈ 4.52 с
  • t_last ≈ 4.52 − 4.50 ≈ 0.02–0.03 с Более точно: t_last ≈ 0.022–0.023 с.

3. Путь за первую секунду

• s(1) = (1/2) g (1)^2 = 0.5 · 9.8 · 1 = 4.9 м
• Значит, за первую секунду тело проходит около 4.9 м.

4. Путь за последнюю секунду

• Обозначим T = √(200/g) — общее время падения.
• Путь за последнюю секунду: Δs_last = s(T) − s(T−1) = H − s(T−1)
• s(T−1) = (1/2) g (T−1)^2. При g = 9.8 и T ≈ 4.518 с, T−1 ≈ 3.518 с
  • (T−1)^2 ≈ 3.518^2 ≈ 12.376
  • s(T−1) ≈ 0.5 · 9.8 · 12.376 ≈ 60.6 м
  • Δs_last ≈ 100 − 60.6 ≈ 39.4 м

Итоговые значения (пятерка гуще)

• Время на первый метр: t1 ≈ 0.452 с
• Время на последний метр: t_last ≈ 0.022–0.023 с
• Путь за первую секунду: ≈ 4.9 м
• Путь за последнюю секунду: ≈ 39.3–39.4 м
• Для полноты: общее время падения T ≈ 4.52 с

Примечание

• Результаты приведены для г ≈ 9.8 м/с^2. При g = 9.81 м/с^2 цифры слегка differ, но порядок отражённых значений сохраняется. Формулы остаются одинаковыми:
  • первый метр: t1 = sqrt(2/g)
  • последний метр: t_last = sqrt(2H/g) − sqrt(2(H−1)/g)
  • путь за первую секунду: s(1) = (1/2) g
  • путь за последнюю секунду: Δs_last = H − (1/2) g (T−1)^2, где T = sqrt(2H/g) и T−1 — на секунду раньше конца.