Что такое хорда
Коротко: хорда — это отрезок, концами лежащий на окружности.
Развернутое пояснение и важные моменты
Определение
- Хорда AB — это отрезок, у которого обе точки A и B лежат на окружности.
- Одну и ту же окружность можно провести много хорда разной длины.
Связанные понятия
- Радиус — отрезок от центра O круга до любой точки на окружности.
- Диаметр — хорда, проходящая через центр круга. Это самая длинная хорда; ее длина равна 2R, где R — радиус круга.
Связанные свойства и выводы
Перпендикуляр OM к хорде AB (O — центр круга, M — середина хорды) и OM ⟂ AB. ВTriangle OMB мы имеем прямоугольник: OB = R, MB = c/2, OM = d (расстояние от центра до хорды). По теореме Пифагора: (c/2)^2 + d^2 = R^2 Отсюда длина хорды: c = 2 sqrt(R^2 − d^2) Это удобно, если известно расстояние d от центра до хорды.
Связь с центральным углом. Пусть угол AOB, subtends хорду AB, равен θ (в радианах или градусах). В треугольнике OAB боковые стороны OA = OB = R, угол AOB = θ. Хорда AB равна: c = 2R sin(θ/2) Это удобно, если известен центральный угол θ.
Диаметр как особая хорда. Если хорда проходит через центр (d = 0), то: c = 2 sqrt(R^2 − 0) = 2R — это диаметр.
Леммы, которые часто используются.
- Две хорды, лежащие на одинаковом расстоянии от центра, имеют одинаковую длину.
- Две хорды одинаковой длины имеют одинаковое расстояние до центра (то же расстояние к центру определяет их длину).
Примеры решений (пошагово)
Пример 1. Радиус R = 5, центральный угол θ = 60°. Найдите хорду AB.
- Формула c = 2R sin(θ/2) = 2·5·sin(30°) = 10 · 0.5 = 5. Ответ: хорда длиной 5 единиц.
Пример 2. Радиус R = 5, хорда AB имеет длину c = 8. Найдите расстояние d от центра до хорды.
- Используем c = 2 sqrt(R^2 − d^2).
- 8 = 2 sqrt(25 − d^2) → 4 = sqrt(25 − d^2) → 16 = 25 − d^2 → d^2 = 9 → d = 3. Ответ: расстояние от центра до хорды равно 3.
Пример 3. Радиус R = 10. Найдите длину хорды, которая не является диаметром, если расстояние от центра до хорды d = 6.
- c = 2 sqrt(R^2 − d^2) = 2 sqrt(100 − 36) = 2 sqrt(64) = 16. Ответ: хорда длиной 16.
Быстрое резюме
- Хорда: отрезок с концами на окружности.
- Длина хорды через расстояние до центра: c = 2 sqrt(R^2 − d^2).
- Длина хорды через центральный угол: c = 2R sin(θ/2).
- Диаметр — особая хорда, проходящая через центр: c = 2R.
Если хочешь, могу привести ещё примеры задач или объяснить, как выбрать формулу в зависимости от известных данных (угол, расстояние до центра, длина хорды и т. п.).
