Окей, вот посложнее — логарифмическое уравнение, и сразу решение: \log_2(x-1)+\log_2(9-x)=3,\qquad \text{область: }1

Отличная задачка. Разберём её подробно и понятно. Задача: log_2(x-1) + log_2(9-x) = 3, область 1 < x < 9. Пояснения по шагам: 1) Область (условия существования логарифмов) - нам нужны аргументы логарифмов положительными: x - 1 > 0 и 9 - x > 0 значит 1 < x < 9. Это и есть данная область. 2) Сложим логарифмы - Поскольку основание логарифма одно и то же (2), можно воспользоваться свойством: log_a u + log_a v = log_a(u v) Здесь: log_2[(x - 1)(9 - x)] = 3. 3) Преобразуем к обычному уравнению - Число 3 слева — это log_2 чего-то; переведём в показатель: (x - 1)(9 - x) = 2^3 = 8. 4) Раскроем скобки и приведём к квадратному уравнению - Раскрываем: (x - 1)(9 - x) = -x^2 + 10x - 9. - Ставим равным 8: -x^2 + 10x - 9 = 8 -x^2 + 10x - 17 = 0 Умножим на -1: x^2 - 10x + 17 = 0. 5) Найдём корни квадратного уравнения - Дискриминант: D = (-10)^2 - 4·1·17 = 100 - 68 = 32. - Корни: x = [10 ± sqrt(32)] / 2 = [10 ± 4√2] / 2 = 5 ± 2√2. 6) Проверка условий области - Значения: 5 - 2√2 ≈ 2.17 и 5 + 2√2 ≈ 7.83. - Оба лежат между 1 и 9, значит оба корня допустимы. - Дополнительно можно проверить подстановкой: для каждого корня (x-1)(9-x) = 8, следовательно log_2[(x-1)(9-x)] = log_2 8 = 3, то есть оба корня удовлетворяют уравнению. Ответ: x = 5 - 2√2 или x = 5 + 2√2. Если хочешь, могу показать проверку подстановкой подробно или рассмотреть похожие задачи другой сложности. Хочешь ещё сложнее? Скажи тему, и предложу примеры по: - тригонометрии (уравнения с синусами/косинусами и т.д.), - модулю (уравнения и неравенства с модулем), - системам уравнений (линейные и нелинейные), - уравнениям с параметром и условиями существования решений.