Окей, вот посложнее — логарифмическое уравнение, и сразу решение: \log_2(x-1)+\log_2(9-x)=3,\qquad \text{область: }1<x<9 Слагаем логи: ⇒ . Раскрываем: . ⇒ . Оба корня лежат в ,…

Отличная задачка. Разберём её подробно и понятно.

Задача: log_2(x-1) + log_2(9-x) = 3, область 1 < x < 9.

Пояснения по шагам:

1. Область (условия существования логарифмов)

• нам нужны аргументы логарифмов положительными: x - 1 > 0 и 9 - x > 0 значит 1 < x < 9. Это и есть данная область.

2. Сложим логарифмы

• Поскольку основание логарифма одно и то же (2), можно воспользоваться свойством: log_a u + log_a v = log_a(u v) Здесь: log_2[(x - 1)(9 - x)] = 3.

3. Преобразуем к обычному уравнению

• Число 3 слева — это log_2 чего-то; переведём в показатель: (x - 1)(9 - x) = 2^3 = 8.

4. Раскроем скобки и приведём к квадратному уравнению

• Раскрываем: (x - 1)(9 - x) = -x^2 + 10x - 9.
• Ставим равным 8: -x^2 + 10x - 9 = 8 -x^2 + 10x - 17 = 0 Умножим на -1: x^2 - 10x + 17 = 0.

5. Найдём корни квадратного уравнения

• Дискриминант: D = (-10)^2 - 4·1·17 = 100 - 68 = 32.
• Корни: x = [10 ± sqrt(32)] / 2 = [10 ± 4√2] / 2 = 5 ± 2√2.

6. Проверка условий области

• Значения: 5 - 2√2 ≈ 2.17 и 5 + 2√2 ≈ 7.83.
• Оба лежат между 1 и 9, значит оба корня допустимы.
• Дополнительно можно проверить подстановкой: для каждого корня (x-1)(9-x) = 8, следовательно log_2[(x-1)(9-x)] = log_2 8 = 3, то есть оба корня удовлетворяют уравнению.

Ответ: x = 5 - 2√2 или x = 5 + 2√2.

Если хочешь, могу показать проверку подстановкой подробно или рассмотреть похожие задачи другой сложности.

Хочешь ещё сложнее? Скажи тему, и предложу примеры по:

• тригонометрии (уравнения с синусами/косинусами и т.д.),
• модулю (уравнения и неравенства с модулем),
• системам уравнений (линейные и нелинейные),
• уравнениям с параметром и условиями существования решений.