10 спортсменов приняли участие в олимпиаде. В личном зачёте первый получил 60 баллов, второй 80 баллов, третий среднее арифметическое результатов первого и второго, и далее каждый следующий спортсмен получал среднее арифметическое всех предыдущих участников. Сколько баллов получил последний спортсмен?

Ответ: 70 баллов. Подробное решение: - Пусть a1 = 60, a2 = 80. - Для n ≥ 3 спортсмен получает баллы a_n как среднее арифметическое всех предыдущих: a_n = (a1 + a2 + ... + a_{n-1}) / (n-1). - Обозначим S_n — сумма первых n баллов: S_n = a1 + a2 + ... + a_n. Тогда S_1 = 60, S_2 = 60 + 80 = 140. - Для n ≥ 3 имеем: a_n = S_{n-1} / (n-1) и S_n = S_{n-1} + a_n = S_{n-1} + S_{n-1}/(n-1) = S_{n-1} · (n/(n-1)). - Идем по цепочке: S_3 = S_2 · 3/2 = 140 · 3/2 = 210; S_4 = S_3 · 4/3 = 210 · 4/3 = 280. - Обобщение: S_n = S_2 · n/2 = 140 · n/2 = 70n (по telescoping-умножению: произведение j/(j-1) от j=3 до n равно n/2). - Тогда a_n = S_{n-1}/(n-1) = [70(n-1)]/(n-1) = 70 для любого n ≥ 3. - Следовательно, последний спортсмен (10-й) получил a_10 = 70 баллов.