Найдите наименьшее число г. удовлетворяющее системе неравенств 2x-5+|x-3|>=0,\\ 3 + 6x + 2|10x - 3| >0.

Задача: найти наименьшее x, удовлетворяющий системе 2x - 5 + |x - 3| >= 0 и 3 + 6x + 2|10x - 3| > 0.

Поскольку в выражениях есть модули, разбиваем по точкам разложения: x = 3 и x = 3/10.

Разберём по интервалам: (-∞, 3/10), [3/10, 3), [3, ∞).

1. Интервал x < 3/10

• |x - 3| = 3 - x, |10x - 3| = -(10x - 3) = 3 - 10x.
• Первая неравенность: 2x - 5 + (3 - x) = x - 2 >= 0 → x >= 2. Но в этом интервале x < 0.3, значит решений нет.
• Вторая неравенность: 3 + 6x + 2(3 - 10x) = 9 - 14x > 0 → x < 9/14. Но пересечение с x < 0.3 даёт пустоту из-за первой неравенности.

Инетрезультат по этому интервалу: решений нет.

2. Интервал 3/10 <= x < 3

• |x - 3| = 3 - x, |10x - 3| = 10x - 3.
• Первая неравенность: 2x - 5 + (3 - x) = x - 2 >= 0 → x >= 2. Пересечение: [2, 3).
• Вторая неравенность: 3 + 6x + 2(10x - 3) = 26x - 3 > 0 → x > 3/26. В этом интервале выполняется для всей области: все x > 0.115… удовлетворяют. Значит совместно даёт решение [2, 3).

3. Интервал x >= 3

• |x - 3| = x - 3, |10x - 3| = 10x - 3.
• Первая неравенность: 2x - 5 + (x - 3) = 3x - 8 >= 0 → x >= 8/3. В этом интервале это выполняется (так как x >= 3).
• Вторая неравенность: 3 + 6x + 2(10x - 3) = 26x - 3 > 0 → x > 3/26. Выполняется для всех x >= 3.

Итого в этом интервале решения — x >= 3.

Объединяя все интервалы: решение системы равно x ≥ 2. Минимальное значение x, удовлетворяющее обеим неравенностям, равно 2.

Ответ: минимальное x = 2.