футбольный мяч сшит из 12 чёрных пятиугольников и белых шестиугольников сколько на нём шестиугольников

Задача: на футбольном мяче, состоящем из 12 черных пятиугольников и белых шестиугольников, сколько шестиугольников?

Пошаговое решение:

• Обозначим количество шестиугольников как h. Тогда всего граней F = 12 + h.

• У каждого пятиугольника есть 5 граней, и ни у одного пятиугольника нет общей грани с другим пятиугольником (у мяча грани пятиугольников соседят только с шестиугольниками). Значит, общее число ребер общих пятиугольник–шестиугольник равно 12 × 5 = 60.

• В правильной структуре футбольного мяча каждый шестиугольник граничит с ровно тремя пятиугольниками (и тремя шестиугольниками). Следовательно, если посчитать общее число граней, соседних с пятиугольниками через боковые грани шестиугольников, получаем 3h.

• Эти два счёта относятся к тем же общим ребрам между пятиугольниками и шестиугольниками, значит 60 = 3h.

• Отсюда h = 60 / 3 = 20.

Дополнительная проверка (по желанию): можно проверить через формулу Эйлера. Если h = 20, то F = 12 + 20 = 32. Этапы подсчёта ребер: E = (5×12 + 6×20)/2 = (60 + 120)/2 = 90. V = 2E/3 = 60. Верификация Эйлера: V − E + F = 60 − 90 + 32 = 2, что верно для выпуклого многоугольника.

Ответ: на футбольном мяче 20 шестиугольников.