Задача: периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, угол C = 30°, BH ⟂ CD и BH = 6,5 см. Найти стороны параллелограмма.
Обозначим стороны:
- AB = a
- BC = b
Тогда CD = a, AD = b, и периметр P = 2(a + b) = 50 см, значит a + b = 25. (1)
Теперь разберёмся с высотой. BH – перпендикуляр к CD, и AB ∥ CD, следовательно BH является высотой параллелограмма, проведённой к основанию CD (или AB). Обозначим эту высоту как h. По условию h = BH = 6,5 см.
Угол C равен 30°. В параллелограмме смежные углы суммируются до 180°, поэтому угол B = 180° − 30° = 150°. Невероятно важный факт для вычислений: площадь параллелограмма можно записать двумя эквивалентными способами:
- через основание a и высоту h: S = a · h
- через стороны a и b и синус между ними: S = a · b · sin(угол между AB и BC)
Угол между AB и BC равен углу B между BA и BC, но синус не зависит от выбора направления, поэтому sin(угол между AB и BC) = sin(150°) = 1/2. Значит:
S = a · b · sin(150°) = a · b · (1/2)
Приравнивая две записи площади:
a · h = (1/2) · a · b
Если a ≠ 0, можно сократить a:
h = b / 2
Отсюда b = 2h = 2 · 6,5 = 13 см.
Теперь из условия (1) a + b = 25:
a = 25 − b = 25 − 13 = 12 см.
Итак, стороны параллелограмма:
- AB = CD = 12 см
- BC = AD = 13 см
Периметр: 2(12 + 13) = 50 см, что соответствует данному условию.
Ответ: стороны параллелограмма равны 12 см и 13 см.
