sin(15°+x)+sin(45°-x)=1

Задача: sin(15° + x) + sin(45° − x) = 1

Решение будет пошаговым и наглядным.

1. Применим тождество суммы синусов sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2), где A = 15° + x, B = 45° − x.

2. Найдем необходимые величины

• A + B = (15° + x) + (45° − x) = 60° → (A + B)/2 = 30°
• A − B = (15° + x) − (45° − x) = 2x − 30° → (A − B)/2 = x − 15°

Подставим в тождество: sin(15° + x) + sin(45° − x) = 2 sin 30° · cos(x − 15°)

3. Упростим с учетом значения sin 30° sin 30° = 1/2, поэтому 2 · (1/2) · cos(x − 15°) = cos(x − 15°)

Значит из исходного уравнения получаем cos(x − 15°) = 1

4. Решим тригонометрическое уравнение cos θ = 1 тогда, когда θ = 360°k, где k ∈ Z.

Следовательно, x − 15° = 360°k → x = 15° + 360°k, где k — произвольное целое число.

Итого, множество решений: x = 15° + 360°k, k ∈ Z.

Проверка (пример): k = 0 → x = 15°. Тогда sin(15°+15°) + sin(45°−15°) = sin 30° + sin 30° = 1/2 + 1/2 = 1, что верно.