Sin(15°+x)+sin(45°-x)=1

Задача: sin(15° + x) + sin(45° − x) = 1 Решение будет пошаговым и наглядным. 1) Применим тождество суммы синусов sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2), где A = 15° + x, B = 45° − x. 2) Найдем необходимые величины - A + B = (15° + x) + (45° − x) = 60° → (A + B)/2 = 30° - A − B = (15° + x) − (45° − x) = 2x − 30° → (A − B)/2 = x − 15° Подставим в тождество: sin(15° + x) + sin(45° − x) = 2 sin 30° · cos(x − 15°) 3) Упростим с учетом значения sin 30° sin 30° = 1/2, поэтому 2 · (1/2) · cos(x − 15°) = cos(x − 15°) Значит из исходного уравнения получаем cos(x − 15°) = 1 4) Решим тригонометрическое уравнение cos θ = 1 тогда, когда θ = 360°k, где k ∈ Z. Следовательно, x − 15° = 360°k → x = 15° + 360°k, где k — произвольное целое число. Итого, множество решений: x = 15° + 360°k, k ∈ Z. Проверка (пример): k = 0 → x = 15°. Тогда sin(15°+15°) + sin(45°−15°) = sin 30° + sin 30° = 1/2 + 1/2 = 1, что верно.