3a+ b²-6b+a²

Давайте разберём выражение: 3a + b² - 6b + a².

Цель: понять структуру выражения и привести его к удобной форме.

Шаг 1. Перепишем полное выражение в виде квадратичных членов по переменным a и b a² + b² + 3a - 6b.

Шаг 2. Дополнить квадраты по каждой переменной

• По a: a² + 3a = (a + 3/2)² - 9/4.
• По b: b² - 6b = (b - 3)² - 9.

Шаг 3. Соберём всё вместе a² + b² + 3a - 6b = (a + 3/2)² - 9/4 + (b - 3)² - 9 = (a + 3/2)² + (b - 3)² - 45/4.

Это и есть удобная форма: сумма квадратов минус константы.

Шаг 4. Что из этого следует (для понимания задачи)

• Значение выражения минимально тогда и только тогда, когда оба квадрата равны нулю, то есть при a = -3/2 и b = 3.
• В этом случае минимальное значение равно (0) + (0) - 45/4 = -45/4.
• Так как сумма квадратов неотрицательна, а константа отрицательная, максимума у выражения нет (оно растёт безbound при больших значенияa или b).

Дополнительные замечания

• Выражение нельзя легко разложить на два линейных множителя с рациональными коэффициентами (не получается факторизация вида (a + p b + q)(a + r b + s) без использования комплексных коэффициентов).
• Если вам нужно просто «упростить» в одну формулу для обработки, удобная форма уже получена: (a + 3/2)² + (b - 3)² - 45/4.

Кратко итог

• Привел к форме квадратов: (a + 3/2)² + (b - 3)² - 45/4.
• Минимум достигается при a = -3/2, b = 3, и равен -45/4.