Сколько существует трухзначных чисел, сумма которых равна 25?

Задача: сколько существует трехзначных чисел, сумма их цифр равна 25. Обозначим цифры числа как a, b, c: - a — сотни (1 ≤ a ≤ 9) - b — десятки (0 ≤ b ≤ 9) - c — единицы (0 ≤ c ≤ 9) и выполняется a + b + c = 25. 1) Приведём задачу к удобной форме Положим a' = a − 1. Тогда a' ≥ 0 и a' ≤ 8, а сумма становится: a' + b + c = 24, с ограничениями 0 ≤ a' ≤ 8, 0 ≤ b ≤ 9, 0 ≤ c ≤ 9. 2) Посчитаем число неограниченных решений и вычтем те, что нарушают пределы Без верхних ограничений число решений неотрицательных переменных a', b, c при сумме 24 равно сочетанием: N0 = C(24 + 3 − 1, 3 − 1) = C(26, 2) = 325. Обозначим: - X: a' ≥ 9 - Y: b ≥ 10 - Z: c ≥ 10 Число решений с нарушением каждого ограничения поодиночке: - |X|: пусть a'' = a' − 9 ≥ 0, тогда a'' + b + c = 15 → C(15 + 2, 2) = C(17, 2) = 136 - |Y|: b' = b − 10 ≥ 0, тогда a' + b' + c = 14 → C(14 + 2, 2) = C(16, 2) = 120 - |Z|: c' = c − 10 ≥ 0, тогда a' + b + c' = 14 → C(16, 2) = 120 Пересечения двух ограничений: - |X ∩ Y|: a'' + b' + c = 5 → C(5 + 2, 2) = C(7, 2) = 21 - |X ∩ Z|: a'' + b + c' = 5 → 21 - |Y ∩ Z|: a' + b' + c' = 4 → C(4 + 2, 2) = C(6, 2) = 15 Трёхкратного пересечения нет (сумма была бы отрицательной). По формуле включения-исключения: N_good = N0 − (|X| + |Y| + |Z|) + (|X∩Y| + |X∩Z| + |Y∩Z|) N_good = 325 − (136 + 120 + 120) + (21 + 21 + 15) N_good = 325 − 376 + 57 = 6. 3) Проверка простым перебором по старшему разряду (для наглядности) - a = 7 → b + c = 18 → только (9,9) → число 799 - a = 8 → b + c = 17 → (8,9), (9,8) → 889, 898 - a = 9 → b + c = 16 → (7,9), (8,8), (9,7) → 979, 988, 997 Всего 1 + 2 + 3 = 6 чисел. Ответ: существует 6 трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 25. Сами числа: 799, 889, 898, 979, 988, 997.