Решите неравенство х²-10х+16>_0

Задача: решить неравенство x^2 - 10x + 16 ≥ 0.

Пошаговое решение

1. Приведём квадратный трёхугольник к факторизованному виду. x^2 - 10x + 16 = (x - 2)(x - 8)

2. Неравенство вида (x - 2)(x - 8) ≥ 0. Ключевое: умножение двух чисел даёт неотрицательное значение, когда оба множителя либо неотрицательны, либо оба отрицательны. Поэтому разберём интервалы по корням x = 2 и x = 8.

3. Разбор на интервалы (проверка знака на каждом отрезке):

• Для x < 2 возьмём x = 0: (0 - 2)(0 - 8) = (-2)(-8) = 16 > 0.
• Для 2 < x < 8 возьмём x = 5: (5 - 2)(5 - 8) = (3)(-3) = -9 < 0.
• Для x > 8 возьмём x = 9: (9 - 2)(9 - 8) = (7)(1) = 7 > 0.

4. Учитывая неравенство ≥ 0, включаем точки корней, где выражение равно нулю:

• Где ≤ 2: x ≤ 2
• Где ≥ 8: x ≥ 8

Итак, решение неравенства: (-∞, 2] ∪ [8, ∞)

Проверка:

• x = 2: (2−2)(2−8) = 0 → удовлетворяет неравенству
• x = 8: (8−2)(8−8) = 0 → удовлетворяет неравенству
• x = 0: 16 ≥ 0, подходит
• x = 5: −9 < 0, не подходит

Ответ: x ∈ (-∞, 2] ∪ [8, ∞)