x²+6x+5 --------- 5x²+6x+1

Задача: (x^2 + 6x + 5) / (5x^2 + 6x + 1)

Пошаговое решение и объяснения:

1. Разложим числитель и знаменатель на множители

• x^2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)
• 5x^2 + 6x + 1. Найдём разложение: дискриминант D = 6^2 - 4·5·1 = 36 - 20 = 16, корни: x = (-6 ± 4)/10 → x = -1 и x = -1/5. Значит факторизация: 5x^2 + 6x + 1 = (5x + 1)(x + 1)

2. Запишем выражение через множители (x^2 + 6x + 5) / (5x^2 + 6x + 1) = [(x + 1)(x + 5)] / [(x + 1)(5x + 1)]

3. Упростим, убрав общий множитель (при условии корректности x) Если x ≠ -1, можно сократить (x + 1): = (x + 5) / (5x + 1), при этом нужно помнить ограничения по домену.

4. Ограничения по значению переменной

• Исходное выражение не задано там, где знаменатель равен нулю: 5x^2 + 6x + 1 = 0 → x = -1 или x = -1/5.
• После упрощения остаются те же ограничения: x ≠ -1 и x ≠ -1/5.
• В упрощённой форме знаменатель не равен нулю при взятии, если x ≠ -1/5.

Итого:

• Упрощённое выражение: (x + 5) / (5x + 1)
• Ограничения: x ≠ -1 и x ≠ -1/5

Проверка (пример):

• Пусть x = 2: исходное значение = (4 + 12 + 5) / (20 + 12 + 1) = 21/33 = 7/11.
• Упрощённое: (2 + 5) / (10 + 1) = 7/11. Совпадает.

Если хочешь, могу привести ещё примеры или разобрать аналогичные дроби.