X²+4x-21/x²-x-6

Задача: (x^2 + 4x - 21) / (x^2 - x - 6)

Цель: Понять — даю подробное решение и объяснения.

Шаг 1. Факторизация числителя и знаменателя

• Числитель x^2 + 4x - 21 раскладывается на (x + 7)(x - 3), потому что 7 · (-3) = -21, 7 + (-3) = 4.
• Знаменатель x^2 - x - 6 раскладывается на (x - 3)(x + 2), потому что (-3) · 2 = -6, (-3) + 2 = -1.

Запишем выражение в виде дроби с факторизациями: (x^2 + 4x - 21) / (x^2 - x - 6) = [(x + 7)(x - 3)] / [(x - 3)(x + 2)]

Шаг 2. Сокращение общих множителей У нас есть общий множитель (x - 3). Можно сократить его, но с оговоркой о домене.

После сокращения получаем: (x + 7) / (x + 2), но только при условии, что x ≠ 3 и x ≠ -2 (так как исходная дробь не определена при этих значениях).

Шаг 3. Условия допуска (домена)

• Исходная дробь не определена при x = 3 и x = -2, потому что знаменатель обращается в ноль.
• При сокращении возникает «дыра» в точке x = 3 (hole), поэтому окончательное выражение (x + 7)/(x + 2) справедливо для всех x, кроме x = 3 и x = -2.

Итого:

• Упрощённое выражение: (x + 7) / (x + 2)
• Домены: x ∈ R, x ≠ 3, x ≠ -2
• Особенности графика: есть вертикальная асимптота в x = -2 (как и в исходном выражении), и удалённая точка (hole) в x = 3.

Проверка на примере: Пусть x = 0. Исходное: (0^2 + 4·0 - 21) / (0^2 - 0 - 6) = (-21)/(-6) = 7/2 = 3.5. Упрощённое: (0 + 7)/(0 + 2) = 7/2 = 3.5. Совпадает.