В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC , AD = CD , ∠ B = 57 ∘ , ∠ D = 147 ∘ . Найдите угол A . Ответ дайте в градусах.

Задача решается через разбиение квадрилетра диагональю AC на два треугольника.

Дано: AB = BC, AD = CD, ∠B = 57°, ∠D = 147°.

1. В треугольнике ABC стороны AB = BC, значит этот треугольник равнобедренный с вершиной B.
   Следовательно углы при A и C равны и равны (180° − ∠B)/2 = (180 − 57)/2 = 123/2 = 61.5°.
   То есть ∠CAB = ∠ACB = 61.5°.

2. В треугольнике ADC стороны AD = CD, значит этот треугольник равнобедренный с вершиной D.
   Следовательно углы при A и C равны и равны (180° − ∠D)/2 = (180 − 147)/2 = 33/2 = 16.5°.
   То есть ∠DAC = ∠ACD = 16.5°.

3. Угол A квадрилетки ∠DAB состоит из двух частей: ∠DAC и ∠CAB (AC делит угол A на эти два угла). Поэтому
   ∠A = ∠DAC + ∠CAB = 16.5° + 61.5° = 78°.

Ответ: 78.