1+sin2x=sinx+cosx

Разберём задачу по шагам. Уравнение: 1 + sin(2x) = sin(x) + cos(x) 1) Применим тождество sin(2x) = 2 sin x cos x. Получаем 1 + 2 sin x cos x = sin x + cos x. 2) Введём обозначение t = sin x + cos x. Заметим, что (sin x + cos x)^2 = sin^2 x + cos^2 x + 2 sin x cos x = 1 + 2 sin x cos x. Отсюда 2 sin x cos x = t^2 − 1. Подставим в исходное уравнение: 1 + (t^2 − 1) = t ⇒ t^2 = t. 3) Решим квадратное уравнение t^2 = t: t(t − 1) = 0, значит t = 0 или t = 1. Теперь вернёмся к x. 4) Случай A: t = sin x + cos x = 0. Это значит sin x = −cos x, следовательно tan x = −1 (при cos x ≠ 0). Решение: x = −π/4 + kπ, где k ∈ ℤ. 5) Случай B: t = sin x + cos x = 1. Используем тождество sin x + cos x = √2 sin(x + π/4). Тогда √2 sin(x + π/4) = 1 ⇒ sin(x + π/4) = 1/√2. Решения: - x + π/4 = π/4 + 2πk ⇒ x = 0 + 2πk = 2πk; - x + π/4 = 3π/4 + 2πk ⇒ x = π/2 + 2πk. 6) Объединяем решения: x ∈ { −π/4 + kπ | k ∈ ℤ } ∪ { 2πk | k ∈ ℤ } ∪ { π/2 + 2πk | k ∈ ℤ }. Если нужны решения на интервале [0, 2π), то: - из −π/4 + kπ получаем x = 3π/4 и 7π/4; - из 2πk получаем x = 0; - из π/2 + 2πk получаем x = π/2. Таким образом, на [0, 2π) решение: x ∈ {0, π/2, 3π/4, 7π/4}. Проверка (антизависимая от формата): подставим данные значения в исходное уравнение, убедимся, что обе стороны совпадают. Это подтверждает правильность решения.