(e^(-3x)+√x)'

Решение задачи: найти производную f(x) = e^{-3x} + √x.

Пошагово:

• Пусть f(x) = e^{-3x} + √x. Производная суммы равна сумме производных: f'(x) = d/dx(e^{-3x}) + d/dx(√x).

1. Производная e^{-3x}:

• Применяем цепное правило: если y = e^{u(x)}, то y' = e^{u(x)} · u'(x).
• Здесь u(x) = -3x, потому u'(x) = -3.
• Значит d/dx e^{-3x} = e^{-3x} · (-3) = -3 e^{-3x}.

2. Производная √x:

• √x = x^{1/2}. Для степенной функции d/dx x^{n} = n x^{n-1}.
• Здесь n = 1/2, значит d/dx √x = (1/2) x^{-1/2} = 1/(2√x).
• Область определения: этот производный выражение существует для x > 0. В точке x = 0 производная sqrt(x) не существует (поведение бесконечно большое).

3. Объединяем:

• f'(x) = -3 e^{-3x} + 1/(2√x), при x > 0.

Замечание по области:

• Производная существует для x > 0. В точке x = 0 левая/правая производные не согласованы из-за sqrt(x), поэтому там производная не определена.

Пример проверки:

• При x = 1: f'(1) = -3 e^{-3} + 1/2 ≈ -0.1494 + 0.5 ≈ 0.3506.