Геометрия - 1 В остроугольном треугольнике A B C ABC, в котором ∠ A = 6 0 ∘ ∠A=60 ∘ , проведены биссектриса A K AK, медиана B M BM и высота C H CH. Докажите, что K M KM = K H KH. Ответ

Решение по координатам. Задаются координаты так, чтобы ∠A = 60°. - Пусть A = (0, 0), AB лежит вдоль оси x, B = (b, 0) где b > 0. - Пусть AC имеет длину t > 0 и образует с AB угол 60°, поэтому C = (t cos 60°, t sin 60°) = (t/2, t√3/2). Точки, которые нам нужны: - M — середина AC: M = (t/4, t√3/4). - H — проекция C на AB (так как AB лежит на оси x): H = (t/2, 0). - K — точка биссекции угла A на стороне BC. По теореме биссекции BK:KC = AB:AC = b:t. Значит K = (t B + b C) / (b + t). Подставим B и C: Kx = (t·b + b·(t/2)) / (b + t) = 3bt / (2(b + t)), Ky = (t·0 + b·(t√3/2)) / (b + t) = (b t √3) / (2(b + t)). Теперь покажем KM = KH. Заметим, что все длины пропорциональны t. Введём s = b/t > 0 и вынесём t за скобки: - K = t · k, где kx = 3s / (2(s + 1)), ky = s√3 / (2(s + 1)). - M = t · m, где m = (1/4, √3/4). - H = t · h, где h = (1/2, 0). Тогда KM^2 = t^2 · ||k − m||^2, KH^2 = t^2 · ||k − h||^2, следовательно достаточно показать ||k − m||^2 = ||k − h||^2. Упростим, введя u = s / (2(s + 1)). Тогда k = (3u, √3 u), m = (1/4, √3/4), h = (1/2, 0). Вычислим квадраты расстояний: - KM^2 / t^2 = (3u − 1/4)^2 + (√3 u − √3/4)^2 = (3u − 1/4)^2 + 3(u − 1/4)^2 = 12u^2 − 3u + 1/4. - KH^2 / t^2 = (3u − 1/2)^2 + (√3 u − 0)^2 = (3u − 1/2)^2 + 3u^2 = 12u^2 − 3u + 1/4. И видим, что KM^2 = KH^2, то есть KM = KH. Заключение: для любой позиции сторон AB, AC при условии ∠A = 60° верно KM = KH.