Решить интеграл sin(x)/((1+sin(x)+cos(x))^2)

Для решения данного интеграла нам понадобится использовать метод частичного дробления. Начнем с разложения дроби. Итак, интеграл: ∫ sin(x) / (1 + sin(x) + cos(x))^2 dx Мы можем представить знаменатель в виде квадрата: (1 + sin(x) + cos(x))^2 = 1 + 2sin(x) + 2cos(x) + sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) =(sin^2(x) + cos^2(x)) + 2(sin(x) + cos(x)) + 1 + 2sin(x)cos(x) = 2 + 2(sin(x) + cos(x)) + 2sin(x)cos(x) = 2(1 + sin(x) + cos(x)) Подставляем обратно в наш интеграл: ∫ sin(x) / [2(1 + sin(x) + cos(x))]^2 dx Теперь проведем замену переменных, чтобы упростить выражение. Обозначим u = 1 + sin(x) + cos(x), тогда du = (cos(x) - sin(x)) dx. Теперь заменим sin(x) на u - 1 - cos(x) и dx на -du / (sin(x) - cos(x)): ∫ (u - 1 - cos(x)) / (2u)^2 (-du / (sin(x) - cos(x))) Это даст нам: ∫ (-u + 1 + cos(x)) / 4u^2 du Упростим это выражение и вычислим интеграл. Далее необходимо выразить результат в рамках интеграла и произвести вычисления.