Для решения данного интеграла нам понадобится использовать метод частичного дробления. Начнем с разложения дроби. Итак, интеграл:
∫ sin(x) / (1 + sin(x) + cos(x))^2 dx
Мы можем представить знаменатель в виде квадрата:
(1 + sin(x) + cos(x))^2 = 1 + 2sin(x) + 2cos(x) + sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x)
=(sin^2(x) + cos^2(x)) + 2(sin(x) + cos(x)) + 1 + 2sin(x)cos(x)
= 2 + 2(sin(x) + cos(x)) + 2sin(x)cos(x)
= 2(1 + sin(x) + cos(x))
Подставляем обратно в наш интеграл:
∫ sin(x) / [2(1 + sin(x) + cos(x))]^2 dx
Теперь проведем замену переменных, чтобы упростить выражение. Обозначим u = 1 + sin(x) + cos(x), тогда du = (cos(x) - sin(x)) dx.
Теперь заменим sin(x) на u - 1 - cos(x) и dx на -du / (sin(x) - cos(x)):
∫ (u - 1 - cos(x)) / (2u)^2 (-du / (sin(x) - cos(x)))
Это даст нам:
∫ (-u + 1 + cos(x)) / 4u^2 du
Упростим это выражение и вычислим интеграл. Далее необходимо выразить результат в рамках интеграла и произвести вычисления.
