Геометрия - 1 В остроугольном треугольнике A B C ABC, в котором ∠ A = 6 0 ∘ ∠A=60 ∘ , проведены биссектриса A K AK, медиана B M BM и высота C H CH. Докажите, что K M KM = K H KH. Ответ

Решение (пошагово с пояснениями) Задача: в остроугольном треугольнике ABC при A = 60°, AK — биссектриса угла A (K лежит на BC), BM — медиана к AC (M — середина AC), CH — высота из C на AB (H — проекция C на AB). Докажите, что KM = KH. 1) Выбор системы координат - Поместим треугольник в декартову систему так, чтобы A был в начале координат: A = (0,0). - Пусть AB лежит вдоль оси x, поэтому B = (b, 0) с b > 0. - Точка C лежит на луче, образующем угол 60° с AB, на расстоянии c = |AC| от A: C = (c cos 60°, c sin 60°) = (c/2, (√3)c/2). 2) Точки K, M, H - H — основание высоты CH на AB. Так как AB лежит на оси x, H — проекция C на AB: H = (x_C, 0) = (c/2, 0). - M — середина AC: A(0,0) и C(c/2, (√3)c/2) => M = (c/4, (√3)c/4). - K — точка пересечения биссектрис AK с BC. По биссектрисе BK:KC = AB:AC = b:c. Применяем формулу внутреннего деления отрезка BC в отношении m:n = BK:KC = b:c: K = ( (c·B + b·C) / (b + c) ). Подсчёт даёт: x_K = (c·b + b·(c/2)) / (b + c) = (3bc)/(2(b + c)), y_K = (c·0 + b·(√3 c/2)) / (b + c) = (√3 bc)/(2(b + c)). 3) Сведение к одну переменную Заметим, что尺м масштаба по c можно вынести. Пусть t = b/(b + c). Тогда - K = ((3/2)t, (√3/2)t) в системе, нормированной на c (то есть делим все координаты на c и учитываем, что M и H также имеют фактор c). - M = (1/4, √3/4). - H = (1/2, 0). Тогда расстояния можно считать без явного параметра c; домножение на c даст одинаковый факт равенства. Итак будем считать в нормализованной системе координат (задача сводится к сравнению KM и KH после умножения на c). 4) Вычисление KM и KH KM^2 = (x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2 = ( (3t/2 - 1/4)^2 + ( (√3)t/2 - √3/4 )^2 ). KH^2 = (x_K - x_H)^2 + (y_K - y_H)^2 = ( (3t/2 - 1/2)^2 + ( (√3)t/2 - 0 )^2 ). Произведём вычисления и упрощения. - Для KM^2: (3t/2 - 1/4)^2 = ( (6t - 1)/4 )^2 = (6t - 1)^2 / 16, (√3 t/2 - √3/4)^2 = 3( t/2 - 1/4 )^2 = 3(2t - 1)^2 / 16. Сумма: KM^2 = [ (6t - 1)^2 + 3(2t - 1)^2 ] / 16 = [ (36t^2 - 12t + 1) + (12t^2 - 12t + 3) ] / 16 = (48t^2 - 24t + 4) / 16 = (12t^2 - 6t + 1) / 4. - Для KH^2: (3t/2 - 1/2)^2 = ( (3t - 1)/2 )^2 = (3t - 1)^2 / 4, (√3 t/2)^2 = 3t^2 / 4. Сумма: KH^2 = [ (3t - 1)^2 + 3t^2 ] / 4 = [ (9t^2 - 6t + 1) + 3t^2 ] / 4 = (12t^2 - 6t + 1) / 4. Получаем KM^2 = KH^2 = (12t^2 - 6t + 1)/4. Следовательно KM = KH. 5) Вывод При A = 60° расстояния KM и KH равны, независимо от положения точки B на луче AB (конечно, пока треугольник остаётся остроугольным и A = 60°). Поэтому утверждение верно: KM = KH. Примечание. Доказательство можно получить и без координат, построив симметрические или ортогональные отношения, но координатный подход наглядно демонстрирует равенство квадратов расстояний и явное совпадение выражений.