Найдите наибольшее число a такое, что 20xy + 2x²y²+5²>=a при всех x и y.

Задача: Найдите наибольшее число a такое, что для всех реальных x и y выполняется неравенство 20xy + 2x²y² + 5² ≥ a.

Замечание: 5² = 25, поэтому выражение равно f(x,y) = 2x²y² + 20xy + 25.

1. Ввод переменной t = xy. Тогда f(x,y) = 2t² + 20t + 25, где t может принимать любые значения на всей числовой оси (для любых t найдутся x, y такие, что xy = t).

2. Найдём минимум функции g(t) = 2t² + 20t + 25 по t ∈ R.

   • Способ 1: формула для минимума параболы: t0 = −b/(2a) = −20/(2·2) = −5. Значение в min: g(−5) = 2(−5)² + 20(−5) + 25 = 50 − 100 + 25 = −25.
   • Способ 2 (чистое выделение полного квадрата): g(t) = 2(t² + 10t) + 25 = 2[(t + 5)² − 25] + 25 = 2(t + 5)² − 25 ≥ −25, достижимо при t = −5.

3. Так как t = xy может быть равен −5 (существуют x и y, например x = −5, y = 1), минимум f достигается и равен −25.

Ответ: наибольшее число a равно −25. При этом равенство достигается, когда xy = −5 (например, x = −5 и y = 1).