Реши номер 2) и 4)

Ниже подробные решения для задач 2) и 4) из раздела «Докажите, что тождественно равны выражения». 1) Задача 2) Дано: 1/(2x − 8) + 1/(40 − 10x) + 1/(x^2 − 8x + 16) ≡ (2x − 3) / [5 (x − 4)^2] Пояснения и решение: - Заметим факторизации: - 2x − 8 = 2(x − 4) - 40 − 10x = −10(x − 4) - x^2 − 8x + 16 = (x − 4)^2 - Перепишем выражение: 1/[2(x − 4)] − 1/[10(x − 4)] + 1/(x − 4)^2 - Приведём к общему знаменателю 10 (x − 4)^2: - 1/[2(x − 4)] = [5(x − 4)] / [10 (x − 4)^2] = (5x − 20) / [10 (x − 4)^2] - −1/[10(x − 4)] = (−(x − 4)) / [10 (x − 4)^2] = (−x + 4) / [10 (x − 4)^2] - 1/(x − 4)^2 = 10 / [10 (x − 4)^2] - Сумма числителей: (5x − 20) + (−x + 4) + 10 = 4x − 6 = 2(2x − 3) - Итог: [2(2x − 3)] / [10 (x − 4)^2] = (2x − 3) / [5 (x − 4)^2] Значит, правая часть равна левой, и тождество доказано (при x ≠ 4). 2) Задача 4) Дано: (a^2 x^2 + 36 y^2) / (a x − 6 y) + (12 a x y) / (6 y − a x) ≡ a x − 6 y Пояснения и решение: - Заметим, что 6y − ax = −(ax − 6y), поэтому вторая дробь равно (12 a x y) / (6 y − a x) = − (12 a x y) / (a x − 6 y) - Объединим дроби по общему знаменателю (ax − 6y): суммарная дробь = [a^2 x^2 + 36 y^2 − 12 a x y] / (a x − 6 y) - Заметим, что числитель является квадратом: a^2 x^2 − 12 a x y + 36 y^2 = (a x − 6 y)^2 - Таким образом [(a x − 6 y)^2] / (a x − 6 y) = a x − 6 y (при ax − 6y ≠ 0) Итак, левый выражение действительно равно ax − 6y (при допустимых значениях знаменателей). Итоги: - Задача 2): сумма равна (2x − 3) / [5 (x − 4)^2]. - Задача 4): сумма равна ax − 6y. Замечания по области допустимых значений: для обеих задач исключить значения x и (ax − 6y), при которых знаменатели обращаются в нуль.